Можно ли задать краткий вопрос "understood?" вместо "understand?"

Разговорный английский отличается от литературного. А British English отличается от American English. Так что вас поймут, если вы так сформулируете вопрос, но это будет невежливо звучать. "understood" - это форма прошедшего время (понял) , а "understand" - настоящее время.

Да, есть такое, причём встречается как в виде вопроса, так и в виде утверждения. При этом в данном случае understood - никакая не форма Past Simple, а т. н. Participle II, т. е. причастие прошедшего времени страдательного залога. Интересно, что ту же структуру, но уже в русском языке, слышал в Латгалии и в Псковской губернии, что-то вроде: "На автобусе поедем, пóнято? " - "Пóнято. "

В фильмах американских слышала не "understand?" или "understood?", а "got it?" ,в значении "понятно? ", "ясно? ", и ответ такой же "got it" - "понятно". Но этот вопрос подразумевает назидательный смысл, а не уточнение, насколько собеседник расслышал или уловил смысл сказанного.

Например, "Не трогай мои вещи, понятно? "

никогда не слышала understood, а вот understand - часто. не стоит равнятся по американцам, если вы видели как они пишут рекламы, объявления, именно средний слой населения, то вы ужаснетесь, как слышат, так и пишут, так что не стоит по нм равнятся, а то встретятся вам какие-нибудь грамотные иностранцы, вы так скажете, а они смеяться будут над вами потихоньку

По правилам литературного английского вообще только did you understand

американцы.. так без правил. . типа -" Понял? "

Это разговорное сокращение фразы
Have you understood?
подразумевается, что действие уже произошло и вы все поняли.

Вообще американцы стараются упростить свой язык общаясь между собой и поэтому выкидывают из предложений как можно больше слов. Если речь о прошедшем времени, то возможно, если в настоящем то только "understand". (из опыта общения) .
!!!!Англичане никогда не примут такую речь!!!!

Определенно спрашивают "understood?", и не только американцы. Очень часто можно услышать в разговоре, реже в письме, и грамматически все тут правильно.

Я думаю что если это просто разговор со знакомыми, то они тебя поймут. Однако это не правильно граматически.