Подскажите, как зародилась вражда между Шерлоком Хомсом и професором Мариарти...

Мариарти бросил мать Холмса. Сын мстил за мать.

Холмс - знаменитый лондонский частный сыщик.

Профессор Джеймс Мориарти — глава мощной криминальной организации, гений криминального мира.
Вот как описывает его Шерлок Холмс:
Он происходит из хорошей семьи, получил блестящее образование и от природы наделён феноменальными математическими способностями. Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность. Но в его жилах течёт кровь преступника. У него наследственная склонность к жестокости. И его необыкновенный ум не только не умеряет, но даже усиливает эту склонность и делает её ещё более опасной. Тёмные слухи поползли о нём в том университетском городке, где он преподавал, и в конце концов он был вынужден оставить кафедру.
Холмс описывает его как «Наполеона преступного мира».

Нас в казахстанской дыре этому необучали а книг я нечитаю поэтому набирай Google.ru и вперёд...

Давно, ещё в подростковом возрасте. Мариарти был борбуном, а Холмс - бохером. Однажды к гуляющиму по улице Лондона Холмсу подошел Мариарти и решил грабануть его. Холмс не испугался, решив вынести Мариарти челюсть. Мариарти почувствовал это и, как истинный борбун, пулей бросился Холмсу в ноги. Если бы Холмс был поопытнее, он бы ударил сверху ладонью по затылку Мариарти, и тот впечатался бы в асфальт. Но его бохерский опыт не позволил этого сделать, и они оказались на земле. Тогда вмешался проходящий мимо констебль, но с тех пор они узнали друг друга и возненавидели на всю дальнейшую жизнь.