Почему в строчке: "Если Ботвинник паркета ищет ничью ботинок" зарифмован Ботвинник, а не Каспаров?

потому что бот-инок, бот-аника, Бот-винник - паронимическая аттракция (творящая стихия звуков) Потому что это поэзия ( чудо!) , а не шахматы

В любой сфере деятельности возникли, причем, часто, вполне заслуженно, люди-символы, длительные периоды, олицетворяющие собой ту или иную область общественных и культурных интересов страны.
Существуют устойчивые стереотипы.
В середине прошлого века большинство граждан СССР могли, без запинки, образовать логические связки: борец - Иван Поддубный, летчик- Валерий Чкалов, балерина - Галина Уланова, скрипач- Давид Ойстрах, диктор - Юрий Левитан, сатирик - Аркадий Райкин, бард - Владимир Высоцкий, клоун - Олег Попов, космонавт -,конечно, Юрий Гагарин. Эти примеры можно легко продолжить. В шахматах таким неизменным символом был Михаил Ботвинник.
Стихотворение «Осень - хорошее время, если вы не ботаник. . » было написано в 1995 году. (http://brodsky.ouc.ru/osen-khoroshee-vremya-esli-vy-ne-botanik.html ) и опубликовано в журнале "Новый Мир" N 5, 1996.
Обратите внимание - слово " ботвинник паркета " - с МАЛЕНЬКОЙ буквы. Символ! Это был гуру.
К тому же, в 1995 году (год, когда И. Бродский написал про осень) Михаила Моисеевича не стало. .

Не случайно его называли Патриархом. Он не только заложил фундамент советской шахматной школы, он ее фактически и создал. Это уникальный случай, когда человек задумал проект и создал его!
Все, что сейчас кажется настолько естественным, что и обсуждать нечего, - все это выдумывал, создавал, двигал вперед Ботвинник…

Ботвинник - патриарх советской шахматной школы, стал чемпионом мира ещё в 1948г. А с какой стати Бродский стал бы упоминать Каспарова, если тот стал чемпионом мира и вообще фигурой в шахматах задолго после того, как это стихотворение было написано. В то время Бродский вообще не знал, кто такой Каспаров.