По какой причине Лермонтов был переведён в Тегиский пехотный полк в действующей армию на Кавказ под чеченские пули?

Тенгинский 77-й пехотный полк, не Тегиский.

16 февраля 1840 года в доме графини Лаваль в разгар бала словно невзначай вспыхнула ссора Лермонтова с сыном французского посла де Баранта — Эрнестом. Молодому французу сообщили эпиграмму Лермонтова, писанную ещё в юнкерской школе по адресу совершенно другого лица, и уверили, что поэт оскорбил в этом четверостишии именно его, да ещё будто бы дурно отзывался о нём в разговоре с одной дамой. На балу Барант подошёл к Лермонтову и потребовал от него объяснений. Дуэль состоялась 18 февраля рано утром на Парголовской дороге, за Чёрной речкой, недалеко от того места, где Пушкин стрелялся с Дантесом. Дуэль окончилась бескровно: одна шпага переломилась, перешли на пистолеты, и Барант, хотя и целился, промахнулся, а Лермонтов уже после этого разрядил пистолет, выстрелив в сторону. Противники помирились и разъехались.
Но тайными путями о дуэли стало известно начальству. Лермонтова арестовали и предали военному суду за «недонесение» о дуэли. А молодому Баранту, чтобы не привлекать его к судебному следствию, министр иностранных дел граф Нессельроде в частной беседе посоветовал выехать на некоторое время за границу. За Лермонтова же вступился Великий князь Михаил Павлович, бывший главнокомандующим всеми гвардейскими корпусами. Наконец приговор был вынесен и утверждён: царь распорядился снова сослать Лермонтова на Кавказ, в армейский полк, воевавший в самом отдалённом и опасном пункте Кавказской линии.