Богатыри реально существовали или только в сказках?

Илья Муромец. У него есть даже два возможных прототипа, но наиболее вероятный - Илья Печерский - умер в Киево-Печерской Лавре в 1188 году. Исследовали скелет этого человека. У него действительно ноги длительное время не работали (родовая травма), но после вправления позвонков он обрел подвижность. Изначально парня звали Чобитько (Чобиток), родом из Мурома, после исцеления взял имя Илья. Говорят, был крепок руками и даже принимал участие в обороне Киева. На левой руке следы ранения копьем. В 17 веке причислен к лику святых под именем "Илия Муромец". По скелету была проведена реконструкция внешности.
текст при наведении
Алеша Попович. Тут все говорят о ростовском боярине Александре (Олеше) Поповиче, который служил Всеволоду Большое Гнездо, а затем его сыну Константину. Попович был "храбром" (отборным бойцом) в княжеской дружине. Помогал Константину воевать против Юрия Всеволодовича, положил в поединках немало его бойцов. После вокняжения Юрия, понятное дело, ретировался в Киев, на службу к Мстиславу Старому. Участвовал с ним в походе и погиб на Калке в 1223 году.
Добрыня Никитич. У этого парня самый древний прототип. Воевода Владимира Красно Солнышко и брат ключницы Малуши - наложницы Святослава и матери самого Владимира.
Под конец жизни (980-е годы) был новгородским князем.

Не очень понятен Ваш вопрос.
Существовали ли на самом деле люди с подобными именами и прозвищами? - Это доподлинно неизвестно. Говорят о прототипах (Вам про них уже написали).
Существовали ли воины, которые побеждали Соловья-разбойник, Идолище поганое, сшибали все маковки с церквей в Киеве и совершали прочие сказочные подвиги? - Ясно, что нет.
Как бы Вы ответили на вопрос: Колобок существовал реально, или это только сказка?
Хлеб круглой формы, называемый колобом, действительно пекли на Руси. Хлеб, который укатился сам собой по дороге и разговаривал со встречными, существует только в сказке.

Да, богатыри существовали на самом деле. Илья Муромец и Алеша Попович были реальными людьми. Но их силы как мне кажется преувеличивали.

Если хватит ума понять Слово о полку Игореве, то вопросы лишни

Существовали.
Вот только само слово "богатырь", произошедшее от монгольсмкого "баатар", которое исказали до "бахатур" - появилось у нас не сразу.
До того княжеских дружинников называли гриднями (тоже искажённое от "хирдманн" - но уже с пра-скандинавского) и витязями (вот это слово уже у нас позаимствовали соседи-мадьяры, у них "витэзи" стало обозначать аналог немецкого "риттер" (рыцарь, то бишь). А дружину в целом называли гридь или чать.