Может ли поэт стать знаменитым и успешным не выходя к публике?

Если кто-то на его стихи будет петь песни, и эти песни будут популярны. В советское время так и было. Песни сочинялись на стихи.

... и не написав ни одного стихотворения?

Такой человек есть. Правда не поэт, а писатель. Уже наверно лет 15-20 Пелевин не появлялся на публике.

Может. Например Сталин писал стихи. Но он не нуждался в славе поэта. Прекрасные стихи оставил после себя Юрий Владимирович Андропов. Например:
"Да, все мы смертны, хоть не по нутру
Мне эта истина, страшней которой нету.
Но в час положенный и я, как все, умру,
И память обо мне сотрет святая Лета.
Мы бренны в этом мире под луной:
Жизнь – только миг (и точка с запятой);
Жизнь – только миг; небытие – навеки.
КрутИтся во вселенной шар земной,
Живут и исчезают человеки.
Но сущее, рожденное во мгле,
Неистребимо на пути к рассвету.
Иные поколенья на Земле
Несут все дальше жизни эстафету.

Источник: http://www.kulturologia.ru/blogs/271015/26897/
Эльдар Рязанов писал прекрасные стихи, хотя прославился как кинорежиссер:
"У природы нет плохой погоды -
Каждая погода благодать.
Дождь ли снег - любое время года
Надо благодарно принимать,

Отзвуки душевной непогоды,
В сердце одиночества печать,
И бессонниц горестные всходы
Надо благодарно принимать,

Надо благодарно принимать.

Смерть желаний, годы и невзгоды -
С каждым днем все непосильней кладь,
Что тебе назначено природой
Надо благодарно принимать.

Смену лет, закаты и восходы,
И любви последней благодать,
Как и дату своего ухода
Надо благодарно принимать,

Надо благодарно принимать.

У природы нет плохой погоды,
Ход времен нельзя остановить.
Осень жизни, как и осень года,
Надо, не скорбя, благословить.

Надо, не скорбя, благословить,
Надо, не скорбя, благословить."

Андрей Петров: У природы нет плохой погоды — Текст песни http://mirpesen.com/ru/andrej-petrov/u-prirody-net-ploxoj-pogody.html#ixzz4zF7JjvMB

А вот поэту, который не умеет себя рекламировать со сцены или с помощью популярных песен для эстрады или кино, стать знаменитым очень сложно.
Вот вы слышали о таком поэте - Игорь Жданов? А он был довольно талантлив, но никто не брал у него интервью в СМИ. Хотя бы раз в три месяца.

мне тоже интересно

Выходи-не выходи, а результат один.