А почему Пушкин в романе «Евгений Онегин» подчёркивает, что Татьяна – русская душою? Какая в этом была необходимость?

"Как уст румяных без улыбки,
Без грамматической ошибки
Я русской речи не люблю".

Здесь Пушкин, сам (несмотря на "сложности с арифметикой") могущий служить примером точности, логичности и математической выверенности слова, предваряет развитие любовной истории Татьяны, манифестируя её иррациональность.

Без логики нет истории, без иррационального - она лишена смысла.

А любовная история - в особенности. Что здесь для Пушкина важнее, сама любовь или возможность с её помощью "коснуться души читателя"?

Сие мне неведомо. Ясно одно: любовь - прежде ума.

Почему Пушкину не нравится безошибочная речь? Потому, думаю, что она не выражает естественность русской души.

Строго говоря, это не обязательно так. Просто н е с п е ц и а л ь н ы е ошибки в устной (в наше время ещё при быстром обмене сообщениями) являются приметами естественности.

О русской душе Татьяны Пушкин говорит в определённый момент. Когда она радуется зиме.

И я бы не сказал, что он это именно подчеркивает:

"Татьяна (русская душою,
Сама не зная почему)
С ее холодною красою
Любила русскую зиму,
На солнце иний в день морозный,
И сани, и зарею поздной
Сиянье розовых..." - тут я хочу обратить Ваше внимание на сохранившиеся (что совершенно правильно) в переводе на современный русский "ошибки".

Благодаря тому, что мы видим происходящее со стороны (или сверху, или издалека), в контексте, уже заданном Пушкиным, радость её вполне понятна (даже несмотря на то, что само это слово не звучит). И мы также понимаем, что и з н у т р и эта радость "ничем не мотивирована".

Дело не в красоте русской зимы, чему Пушкин посвящает отдельную строфу, и не в долгом её ожидании...

Дело вообще "ни в чём". Со стороны всё можно объяснить, да, но изнутри, самой Татьяне, объяснение не требуется. Иррациональность (мистичность, если хотите) любви к зиме - это последнее слово зачеркнуть.

Слова о русской душе Татьяны подчёркивают не русскую душу.

Они подчёркивают естественность её чувств - и оправдывают их иррациональность - усиленную затем "сама не зная почему".

Не русские в те времена были в моде.

значит не французской или иной басурманской пришлой "оттуда"

Я Вам пишу, чего же более,
позволю тем у Вас спросить,
за что же Вы мои ответы
так высоко изволите ценить?))

Хотел сказать, что она дура деревенская по контрасту со столичным циником Онегиным

Татьяна верила преданьям
Простонародной старины,
И снам, и карточным гаданьям,
И предсказаниям луны.
Ее тревожили приметы;
Таинственно ей все предметы
Провозглашали что-нибудь,
Предчувствия теснили грудь.
Все это было типично для русского народа 19 в. Может быть в этом и проявлялась ее русская душа?
А может, в ответе Онегину: "Но я другому отдана и буду век ему верна?" - Верность - часть русской души.

Потому что кроме души, остальное все не русское:
.
-Она по русски плохо знала
Журналов наших не читала,
И выражалася с трудом
На языке своем РОДНОМ

рифму подгонял

Потому, что Татьяна воспитывалась на иностранный лад, плохо говорила по русски, говорила на французском, увлекалась чтением книг иностранных авторов, но душой она была русская. И вот, о Татьяне говорится, что "сама не зная почему любила русскую зиму". Хотя Татьяна и была меланхолична, но как можно не любить звон бубенцов саней, запреженными лошадьми. Как детвора каталась с горок... как на рождество ходили ряженные и веселились. А на масленицу, люди пекли блины, устраивали гуляния и жгли соломенную бабу... и как снег искрился "бриллиантами" ночью под луной и днем под солнцем... и как под ногами, в морозные дни, снег хрустел под каблуками... это все Русская Зима! "Умом Россию не понять"... это надо знать и в этом жить.