А можно ли писать произведения, похожие по сюжету на "Русалочку" или "Ромео и Джульетту"? Авторские права не предьявят?

Тема, идея и сюжет произведения вообще не являются объектами авторского права. Охраняется только их воплощение. Авторское право охраняется 70 лет после смерти автора, так что пиши, что хочешь.

Проблемы с памятью? Какие авторские права? Эти авторы давно мертвы. Эти книги давно в общественном достоянии, и тебе это уже несколько раз объясняли.

Можно, мне же не предъявляют.

Леди Монтекки была та ещё тварь. Её боялись все слуги и придворные, особенно кот Моисей, которого та пинала при всяком удобном случае. Когда Ромео увидел Джульетту на базаре и сразу втюрился, то его слуга Джон сразу же донёс Леди, что мол плохо дело то, надо чё то делать, а то плохо кончится, принимайте меры, а то ваще копец и никак больше. А та сразу сказала кардиналу Ришелье, мол так и так-надо чё то делать, а то худо будет, беда будет и сраму не оберёшься. А у Кабулетти была в прислугах красивая служанка, по имени Фёкла. Вот Ришелье и приказал стражникам, чтобы те схватили Ромео и бросили в темницу, а потом туда подсунули и Фёклу. Но Ромео был не такой: он не стал домогаться Фёклы, хоть и шибко охота было, у них с Джулей уже было соглашение на свадьбу. А когда Джуля узнала, что Ромео живёт с Фёклой, хоть и на "Губе", то она взяла горсть снотворных таблеток и сожрала все. Уснула, естесственно и как вроде померла. Ромеу сказали, всё, померла твоя Джуля, не веришь? Спроси Роналду, он видел. Ладно, заревел Ромео, как я без тебя буду жить, на кого ты меня покинула. А она вовсе не покинула, а только притворилась. Тогда Ромео взял ножик на кухне и вонзил себе в грудь, но неудачно, только сознание потерял. А Джуля, когда выспалась, увидела, что Рома мёртвый и тоже копыта откинула. А той Леди того и надо, я говорю, что противная была тётка. Она устроила пышные похороны обеим, а когда их понесли на кладбище, они оба очнулись и встали из гробов... Вот какой ужас то был!!! У Ришелье случился рикард микарда, у Леди -понос, а мушкетёры давай всех пластать своими шпагами, только перья с шляп вверх полетели. Вот такая она, эта Леди Монтекки, всем козни устраивала, жадная была до денег. Но у её всё-равно украли подвески, ааа... нет.... она их оставила у любовника, а потом на праздник какой-то они понадобились, а нету. Мужик то требует, где подвески, кои я тебе подарил, а та и не может ротом дышать, не знаю, дескать. Вот и послала она Дараняна в соседнюю Грецию за подвесками. Но... вроде, вон мне подсказывают, что это другая история.

Не предъявят...
Шекспир сам сдул "Ромео и Джульетту" у
Артура Брука «Трагическая история Ромеуса и Джульетты» (Arthur Brooke. The tragical History of Romeus and Juliet,1562
Но и тот ее тоже не сам придумал...
Там если копнуть приходим к древним грекам...
Античным аналогом трагедии верных влюблённых является история Пирама и Фисбы, рассказанная в «Метаморфозах» римским поэтом Овидием

С Русалочкой скорее всего та-же история...

Можно, если текст не будет совпадать с оригиналом. А чтобы уж наверняка, поменяй роли - пусть Джульетта будет старше Ромео, а их семьи называться Дерипаско и Абрамовичи. ;)