Почему во времена Пушкина Александр сокращали Алинами? Разве это не разные имена?

Просто культура сокращения имен среди дворян была другой. В то время ориентировались на французский вариант: Сергея звали Сержем, Петра - Пьером и т.д. Алина - первоначально возникло из французского имени "Аделина" и сейчас это самостоятельное имя. Возможно, родителям Александры не нравилось сокращение "Саша" или "Шура", и они использовали более "возвышенный" французский вариант. Вспомним, что про мать Татьяны Лариной сказано, что она "звала Полиною Прасковью". Прасковья - обычное в то время имя для дворовой девушки, и, как правило, уменьшительное было - Параша. Но мать Татьяны Лариной была в молодости романтической особой и заменила имя "Параша" на более эстетичный для дворянского уха вариант. Но с возрастом, выйдя замуж, она "стала звать Акулькой прежнюю Селину".

Вообще, в то время уменьшительные имена образовывались довольно странным для современного человека способом. И в литературе это осталось: напр. Асю в одноименной повести Тургенева зовут Анной (современный человек будет удивлен, что не Анастасией). А Нину из "Маскарада" Лермонтова на самом деле зовут Анастасией как раз, хотя Нина и Анастасия - разные имена. Но вот близким так захотелось)

В случае с Алиной-Александрой логика могла быть такая: Александра - Аля - Алина, т.е. подбирали что-то похожее по звучанию, но французское.

Естественно, разные.
Это не сокращение, а присвоенный псевдоним, скрывающий и заменяющий истинное имя. Ее могли Аделью назвать.))

Бывает... Меня, например, Александром зовут. Но мама обозвала Аликом. Не понравилось ей имя "Александр". Так и покатилось до окончания школы. Только Танька Орешникова звала меня в школе "Аленький". Так и было.

А почему нет? Александра -слишком длинное имя для девушки 19-лет.
Пахмутову зовут домочадцы Алей, к примеру