Существовали ли богатыри как войско?

Смотря в какое время рассматривать этот термин. Войска Древней Руси составляли дружинники, но среди этих дружинников обычных людей (наемных воинов из числа варягов и княжеских слуг) была и своего рода первая древнерусская гвардия — «храбры», «витязи», «богатыри», — военная элита русских земель и княжеств, тяжеловооруженные конники и пехотинцы.
Они же в мирные времена в Киевской Руси могли использоваться князьями в чьи дружины они входили и при решении насущных административно-экономических задач — как судьи, управленцы, сборщики податей, послы и т. п. Само же слово «богатырь» (иногда богатоуръ) — имеет восточное происхождение.
Само слово «богатырь» появляется в первый раз в книге Сарницкого, изданной без обозначения места в 1585 году «Descriptio veteris et novae Poloniae cum divisione ejusdem veteri et nova». В самой Древней Руси для обозначения элитного воителя и дружинника вместо позднейшего заимствования «богатырь» повсеместно употреблялось слово «храбр»

нет, не существовал, поскольку они - мифические персонажи, а не реальные люди.

в литературе.
Тридцать три богатыря, Все красавцы молодые, Великаны удалые, Все равны, как на подбор, С ними дядька Черномор

А почитай историю, старую...

Их три штуки всего

это диси и марвел тех времен

В историческом смысле, термин "богатырь" не относится к военному званию или виду войск.

Фактически, в средневековой Руси не было класса воинов, называемых богатырями. В то время, когда формировалась русская государственность, армия состояла из княжеских дружинников и наемников.

В кустах сидели

Да батыры

Это фольклор не более