В лагерь отправились 150 детишек.

Это известная задача:
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Прыжки_Виета

Какая осень в лагерях

Кидает листья на запретку,

А я кричу кричу, кричу шнырям:

"Пускай лежат ещё недельку!"

Метлою осень не прогнать

Она пришла не в наказанье

Нам эта осень словно мать

С ней краткосрочное свиданье.



Короче, читай ответ моего брата Алона Амита

https://www.quora.com/How-do-I-prove-that-a%25C2%25B2-b%25C2%25B2-ab-1-equals-to-a-square-of-an-integer-if-a-and-b-are-positive-integers&ved=2ahUKEwiSq5eq0rSBAxWJSvEDHV4hC8wQFnoECAwQAQ&usg=AOvVaw1YlLHFQukk9JfB73w0MaRV

Предположим, что для натуральных чисел a и b число (a²+b²)/(ab+1) - целое, обозначим его за N.
То есть, a²+b² = N * (ab+1) — уравнение (1).

А теперь предположим, что N не является точным квадратом.

Из уравнения (1) выразим а:

a = sqrt((N * (b + 1/N) - b²))

Поскольку a и b - натуральные числа, выходит, что (N * (b + 1/N) - b²) тоже должно быть положительным квадратом целого числа (обозначим его через x²). То есть получаем уравнение:

N * (b + 1/N) = b² + x²


Ну... и.... дальше сложно уже)

ты про конц лагеря?

Предположим, что для некоторых натуральных чисел a и b выражение (a²+b²)/(ab+1) является целым числом, то есть (a²+b²)/(ab+1) = k, где k - целое число.

Рассмотрим выражение a² + b²:
(a² + b²)/(ab + 1) = k
(a² + b²) = k(ab + 1)

Раскроем скобки:
a² + b² = kab + k

Перегруппируем слагаемые:
(a² - kab) + (b² - k) = 0

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение относительно переменной a. Чтобы это уравнение имело только целочисленные решения, значение выражения под корнем должно быть квадратом какого-то целого числа.

То есть, чтобы (a² - kab) + (b² - k) = 0 имело только целочисленные решения, нужно, чтобы квадрат дискриминанта этого уравнения был точным квадратом:
k² + 4kb² - 4k = n², где n - целое число.

Мы можем представить левую часть уравнения как (k² + 4kb² - 4k) = k(k + 4b² - 4), и чтобы это был точный квадрат, (k + 4b² - 4) должно быть квадратом целого числа. Обозначим его за m², где m - целое число:
k + 4b² - 4 = m²

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной b. Чтобы это уравнение имело только целочисленные решения, значение выражения под корнем должно быть квадратом какого-то целого числа.

Таким образом, если для натуральных a и b значение (a² + b²)/(ab + 1) является целым числом, то оно является точным квадратом.