История/математика. Джероламо Кардано

Геронимо Кардано, итальянский математик XVI века, действительно использовал методы проб и ошибок, чтобы прийти к замене переменной в кубическом уравнении, как вы описали. Кардано исследовал кубические уравнения и пришел к этой замене переменной, чтобы упростить уравнение и облегчить его решение.

Его метод был базирован на исследовании различных подходов и множества специфических примеров уравнений. Он экспериментировал с разными подстановками, чтобы найти наиболее удобную и полезную для упрощения уравнения.

Замена переменной (y - b/3a) позволяла Кардано убрать один из членов уравнения и свести его к виду, в котором можно было использовать методы решения более простых типов уравнений. Этот метод стал одним из ключевых шагов в развитии теории решения кубических уравнений и внес значительный вклад в математику своего времени.

Таким образом, Кардано разработал этот метод, опираясь на свой интуитивный анализ и опыт, а не на формальные математические выводы.

Линейная замена переменной, сводящая общий вид кубического уравнения к уравнению, не содержащему коэффициента при x², была широко известна задолго до Кардано, вроде бы ещё древним вавилонянам. Там же используется по сути тот же приём, что и при выводе формулы корней квадратного уравнения, которые умели решать ещё в глубокой древности. Просто взяли и применили его к кубическому и получили более простое уравнение. Однако вплоть до XV века так и не научились его решать.

История решения кубического уравнения талантливо изложена в книге
С.Гиндикина "Рассказы о физиках и математиках". Суфийские мастера
алгебры в Х веке рассматривали число cbrt(54) - cbrt(2) = cbrt(16), но
не возводили его в куб ("так! но куда уйдет / мысли живой стрела?").
Сделаем это вместо них:
[cbrt(54)-cbrt(2)] ^ 3 = -3cbrt(108)*[cbrt(54)-cbrt(2)] + (54-2), то есть
x^3 + 9cbrt(4)*x - 52 = 0 имеет корень x = cbrt(54) - cbrt(2) = cbrt(16).
После этого мудрецы догадались бы испытать x = cbrt(54) - cbrt(4) ;
нашлось бы уравнение, удивляющее своей простотой: x^3 = -18x + 50.
Но этого не произошло...