Должны ли органы ЗАГС ежемесячно представлять в военкомат данные об изменениях граждан, пребывающих в запасе?

Нет конечно! Они только регистрируют акты гражданского состояния! А в случае если человек изменил какие-то данные, он сам обязан в разумный срок сообщить об этом в заинтересованные органы (налоговую, пенсилнный фонд, военкомат и пр.)

Обязанность органов ЗАГС предоставлять в военкомат необходимые им сведения содержится в п. 4 статьи 4 Закона "О воинской обязанности и военной службе".
-----------------------------------------------------
4. Органы записи актов гражданского состояния обязаны в двухнедельный срок сообщать в военные комиссариаты сведения о внесении изменений в акты гражданского состояния граждан, состоящих на воинском учете или не состоящих, но обязанных состоять на воинском учете.

(в ред. Федеральных законов от 22.08.2004 N 122-ФЗ, от 03.12.2008 N 248-ФЗ)
----------------------------------------------------------------------

Также эта обязанность дублируется в распоряжении главы муниципального района по вопросам воинского учета, которое обновляется практически ежегодно. И все эти сведения они предоставляют в военкомат ежемесячно. Причем в ныне действующей редакции Закона сказано, что сведения предоставляются без всяких запросов от военкомата.

Они обязаны направлять в двухнедельный срок по запросам военных комиссариатов необходимые для занесения в документы воинского учета сведения о гражданах, поступающих на воинский учет, состоящих на воинском учете, а также не состоящих, но обязанных состоять на воинском учете.
По крайней мере это последнее, что я слышала.
Закон ФЗ-53. И семейное положение, и смена ФИО, и смерть (когда-то ЗАГС просто высылал раз в месяц списки по отделениям военкомата и все) .

Нет, это должны делать сами граждане, но не ежемесячно, а по ходу изменений гражданского статуса.