C высшим образованием возможно ли сразу, а не по прошествии 6 месяцев, заключить контракт с МО РФ? Что для этого нужно?

если есть "военная кафедра" то вполне реально, а если ее нет, то и НЕТ

Теоретически по Закону такая возможность у вас есть, только срок контракта как минимум 3 года.

А это выдержка из ЗВОВС:
------------------------------------------------------------------
Статья 34. Заключение контракта о прохождении военной службы

1. Контракт о прохождении военной службы вправе заключать:

военнослужащие, у которых заканчивается предыдущий контракт о прохождении военной службы;

военнослужащие, проходящие военную службу по призыву, прослужившие не менее 6 месяцев;

граждане, пребывающие в запасе;

граждане мужского пола, не пребывающие в запасе, окончившие государственные, муниципальные или имеющие государственную аккредитацию по соответствующим направлениям подготовки (специальностям) негосударственные образовательные учреждения высшего профессионального образования;

граждане женского пола, не пребывающие в запасе;

другие граждане в соответствии с нормативными правовыми актами Президента Российской Федерации.

Граждане, поступившие в военные образовательные учреждения профессионального образования, заключают контракт о прохождении военной службы в соответствии с пунктом 2 статьи 35 настоящего Федерального закона.

Контракт о прохождении военной службы также вправе заключать иностранные граждане, законно находящиеся на территории Российской Федерации.

2. Первый контракт о прохождении военной службы вправе заключать:

граждане в возрасте от 18 до 40 лет;

иностранные граждане в возрасте от 18 до 30 лет.
--------------------------------------------------------------------------

Для того что бы осуществить задуманное вам нужно пойти в свой военкомат и написать заявление на имя военкома с просьбой рассмотреть этот вопрос.