Обязательно ли нужно стоять на учете в военкомате в том городе, где расположенна военная кафедра, чтобы ее закончить?

Фигню говорит.
Правда, для особых условий призыва, требуется встать на учет в соответствующем военкомате, но тогда кафедра сама пишет заявление на всех, к кому эти условия применяются (поскольку вы уже заканчиваете обучение, это к вам не относится, поскольку выполняется до оформления допуска) .
Вы обязаны встать на учет по месту проживания. Все вопросы воинского учета, отличающиеся от закона, решаются приказом МО, а не желаниями военной кафедры или ВУЗа в целом. Пусть покажет вам приказ (по уставу - он обязан)

На воинский учет по месту пребывания вам нужно встать хотя бы потому, что это необходимо для того, что бы военкомат имел возможность нормально составлять документы для аттестования вас к присвоению первого офицерского звания. А если вы не состоите у них на учете, то как они могут составлять на вас аттестацию? Это противоречит инструкции по воинскому учету.

Без регистрации по месту пребывания вас на воинский учет принять не смогут.

Правда, вы должны состоять на учёте в вк.

Можете уточнить на одном из призывных форумов - тут prizyvnik.info или тут gvka.ru/forum например. Можете просто через поиск подобную тему поискать, вопрос наверняка не раз поднимался уже.

Тебе действительно необходимо стать на учет в военкомат по месту временной регистрации (если временная регистрация более чем на 3 месяца)
Регистрацию делают по месту проживания. Если снимаете квартиру, то хозяин квартиры вам обязан сделать временную регистрацию. Но большинство этого не делает, так как не платят налоги с дохода от сдачи жилья в наём, а регистрация даёт повод для проверки.
Попробуй спросить у хозяина квартиры про временную регистрацию, может он и согласиться. В крайнем случае прийдется ему доплатить, выхода другого то нет.