Нужно ли мне встать на военский учет после получения паспорта?

Вы обязаны встать на воинский учет!
Статья 21.5. Неисполнение гражданами обязанностей по воинскому учету
Неявка гражданина, состоящего или обязанного состоять на воинском учете, по вызову (повестке) военного комиссариата или иного органа, осуществляющего воинский учет, в установленные время и место без уважительной причины, неявка в установленный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства, расположенное за пределами территории муниципального образования, место пребывания на срок более трех месяцев либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию, а равно несообщение в установленный срок в военный комиссариат или в иной орган, осуществляющий воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы или должности, о переезде на новое место жительства, расположенное в пределах территории муниципального образования, или место пребывания -
влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере от ста до пятисот рублей.

Встать на воинский учет после принятия гражданства это ОБЯЗАННОСТЬ гражданина, а не его право. Хоть и ФМС действительно сообщает сведения о вас в военкомат, но этот факт не снимает лично с вас обязанности согласно закона в двухнедельный срок встать на воинский учет.

ну хочешь чтобы забрали иди в военкомат, но при поступлении на работу могут возникнуть вопросы с военным билетом