сколько раз предоставляется отсрочка?

Право на отсрочку от призыва он потерял когда отчислился с первого института и поступил во второй ВУЗ. Согласно Закона в другой ВУЗ с сохранением отсрочки можно попасть только переводом, но при условии, что общий срок обучения увеличивается не более, чем на 1 год.

Все о предоставлении отсрочки от призыва на военную службу вы можете прочесть в ст. 24 ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН от 28.03.1998 N 53-ФЗ "О ВОИНСКОЙ ОБЯЗАННОСТИ И ВОЕННОЙ СЛУЖБЕ"
см. : http://base.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=LAW;n=108744;div=LAW;mb=LAW;opt=1;ts=7F9ADA088EBE8540CDC229F1B50E16D0
Внимательно прочтите и сопоставьте со своим случаем. Здесь все упрется в вопрос замены вуза, как я понял из вопроса. Или закончив один, поступил в другой? В таком случае отсрочку не предоставят.

Отсрочка по обучению дается призывнику один раз. Все подробности в ст. 24 ФЗ "О воинской обязанности и военной службе".

не один раз. Пока есть основания для нее. А основания указаны в ФЗ о воинской службе.

без ограничений, если это специально не оговаривается в законе: например по учебе для учебных заведений одного уровня только один раз.

Предусмотренная настоящим подпунктом отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданину только один раз, за исключением одного из случаев, если:
первая отсрочка от призыва на военную службу была предоставлена гражданину в соответствии с абзацем вторым настоящего подпункта, гражданин может повторно воспользоваться правом на отсрочку от призыва на военную службу в соответствии с абзацами шестым или седьмым настоящего подпункта;
первая отсрочка от призыва на военную службу была предоставлена гражданину в соответствии с абзацем шестым настоящего подпункта, гражданин может повторно воспользоваться правом на отсрочку от призыва на военную службу в соответствии с абзацем восьмым настоящего подпункта.
Право на предусмотренную настоящим подпунктом отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином:
получившим в период обучения академический отпуск или перешедшим в том же образовательном учреждении с одной образовательной программы на другую образовательную программу того же уровня либо переведенным в другое имеющее государственную аккредитацию по соответствующим направлениям подготовки (специальностям) образовательное учреждение для обучения по образовательной программе того же уровня. Право на отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином по основаниям, предусмотренным настоящим абзацем, только при условии, если общий срок, на который гражданину была предоставлена отсрочка от призыва на военную службу для обучения в данном образовательном учреждении или в образовательном учреждении, из которого осуществлен перевод, не увеличивается или увеличивается не более чем на один год;
восстановившимся в том же образовательном учреждении (за исключением граждан, восстановившихся в образовательных учреждениях после отчисления за нарушение их уставов, правил внутреннего распорядка или по другим неуважительным причинам) , если срок, на который гражданину была предоставлена отсрочка от призыва на военную службу для обучения в данном образовательном учреждении, не увеличивается;
б) получающие послевузовское профессиональное образование по очной форме обучения в имеющих государственную аккредитацию по соответствующим направлениям подготовки (специальностям) образовательных учреждениях высшего профессионального образования или научных учреждениях, имеющих лицензию на ведение образовательной деятельности по образовательным программам послевузовского профессионального образования, - на время обучения, но не свыше нормативных сроков освоения основных образовательных программ и на время защиты квалификационной работы, но не более одного года после завершения обучения по образовательной программе послевузовского профессионального образования;