могут ли перевести солдата с одной части в другую???

Катерина. Вы ведь понимаете, что термин "имею право" в данном случае уже подразумевает нарушение ваших прав. Вы пишите, что вам "обещали оставить в саратовской области", но так не произошло. Значит вы, если и не знали наверняка, то предполагали, что такого права закон не предоставляет. А предоставляют такое "право" чиновники. По своему хотению. Правда, при наличии возможности, о которой, как правило, они не распространяются.
[может быть Просто дед, с его опытом работы в военкомате мне возразит? Аргументированно. ]
Однако, быть может сами того не зная, вы задали верный вопрос. Да, солдата могут перевести служить в другую часть, в том числе и поближе. Но теперь это зависит от армейских начальников. И возможно большого ранга. Теперь вам надо "бомбить" письмами его начальство, начиная от командира части или его заместителей, до самой верхушки. Но "технически" такая возможность есть. Все будет зависеть от вашей настойчивости и "пробивной" силы.
Искренне желаю удачи.

Нет, такого права у него нет.

Солдат срочной службы переводят только по служебной необходимости. А по желанию это невозможно.

через командование приволжским военным округом. только

Поговорите с командиром части. Да и ещё лица имеющие судимости не имеют права призываться на военную службу, кроме того если есть факты неуставных отношений он должен обратиться в прокуратуру.
смысл перевода, не факт что его будут отпускать домой на выходные, да и имеют полное право и вас не пускать к нему-служба такова!