Можно ли остаться на учёте в военкомате по месту бывшей регистрации?

Должен быть зарегистрирован по месту жительства и соответственно состоять там же на воинском учете. В принципе большой беды не будет, если у вас нет регистрации, можете пребывать на воинском учете и по старому месту жительства, но уведомить военкомат о смене места жительства Вы обязаны. Военкомату главное - что бы Вас могли вовремя оповестить доступными средствами о вызове в военкомат ( почтой, телефоном, посыльными )

Пойти в прежний военкомат вы конечно можете, только с вами там разговаривать не будут, а снимут с учета и отправят вставать на воинский учет в новый военкомат. Запомните, каждый военкомат обслуживает только территорию своего района, ну или например двух административных районов, которые к нему прикреплены. Да и по закону состоять на учете гражданин ОБЯЗАН ...

*****************************************************************************
Статья 10. Обязанности граждан по воинскому учету

1. В целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:

состоять на воинском учете по месту жительства (граждане, прибывшие на место пребывания на срок более трех месяцев или проходящие альтернативную гражданскую службу, - по месту их пребывания) в военном комиссариате, а граждане, имеющие воинские звания офицеров и пребывающие в запасе Службы внешней разведки Российской Федерации и в запасе Федеральной службы безопасности Российской Федерации, - в указанных органах;
********************************************************************************

При любых изменениях необходимо сообщать в военкомат в течении 10 суток.