могу ли я претендовать на отпуск по личным обстоятельствам или по уходу за ребенком?

Ну какая же это проблема?! Абсолютно не вижу никаких проблем! Или может у вас командир самодур, который вообще ничего слушать не хочет? На многое конечно рассчитывать не приходится, но уж на выписку всегда офицера отпустят, да и пару другую деньков на первые дни тоже могут освободить от службы. В принципе командир по вашему рапорту имеет право дать вам до 10 суток отпуска по личным обстоятельствам. Так что можете писать рапорт, а там видно будет.

Отпуск по семейным обстоятельствам предоставляется военнослужащему (как по призыву, так и по контракту) на срок до 10 суток в следующих случаях:
в случае тяжелого состояния здоровья или смерти близкого родственника (супруги, отца, матери, сына, дочери, родного брата или сестры, отца или матери супруги);
в случае пожара или другого стихийного бедствия, случившегося в семье военнослужащего или его близкого родственника;
в прочих исключительных случаях, при которых присутствие военнослужащего в семье остро необходимо.
Решение о том, является ли случай исключительным и стоит ли предоставить отпуск, принимает командир воинской части единолично. Это условие закреплено в ФЗ «О статусе военнослужащих». В любом случае, необходимо еще и документально подтвердить обстоятельства, в связи с которыми вы просите отпуск.
пишите рапорт, описывайте ситуацию, прикладывайте справку из роддома, может быть и пойдут вам на встречу. если откажут, то няню придется искать

А вы у своего командира спрашивали? Помню, когда было у меня так же, только детсада у нас не было. Жену в роддом, я к командиру, тот сказал: Занимайся ребёнкомЕсть время - выходи на службу. Проблем не было. Надо к жене съездить - дочь к друзьям. Да и просто её на службу брал... Наряд её там развлекал, ух она там их оттренировала))) Курс молодого отца проходили))).
Так что не надо паники. Вы офицер и все вопросы решайте по команде.
Кстати я так же написал рапорт, но как решил командир, так и сделал.