можно ли остаться в армии после службы

да, можешь остаться, подписав контракт. В дальнейшем, если позволит возраст, состояние здоровья и знания-можете просить командование направить вас на учебу в военный вуз до окончания срока контракта. При наличии у вас высшего гражданского образования после того как отслужите срок первого контракта, можете писать рапорт о направлении вас на офицерские курсы - на них обучаются по основной вашей гражданской специальности. после курсов вас направят на службу в части, где должности эти вакантны уже офицером.
В соответствии с п. 1 ст. 35 Федерального закона от 28.03.1998 № 53-ФЗ (ред. от 21.07.2014) "О воинской обязанности и военной службе" (далее - Закон), в военные профессиональные образовательные организации и военные образовательные организации высшего образования имеют право поступать:

- военнослужащие, проходящие военную службу по контракту, - в порядке, определяемом министром обороны Российской Федерации или руководителем федерального органа исполнительной власти, в котором настоящим Федеральным законом предусмотрена военная служба.

службы.. службы где?.

Ты можешь продолжать службу, подписав контракт. Присвоение воинских званий будет зависеть от должности, на которую тебя назначат. Через три года службу по контракту ты можешь написать рапорт на командира и поступить в обучаться с целью получения высшего образования. После окончания учебного заведения при наличии вакансий офицерских должностей, тебя могут назначить на офицерскую должность, с присвоением первого офицерского звания.
Это перспектива, ну а чтобы она стала реальностью, нужно добросовестно служить.

Конечно, это называется контрактная служба