Получение водительских прав через военкомат

Давайте по-порядку:
1. С чего Вы взяли, что у Вас отсрочка именно до осени? Написано в приписном свидетельстве или сами подумали? Просто основные волны окончаний учебных заведений 30 июня, а призыв до 15 июля. Поэтому за 15 дней призвать - запросто могут успеть. Если Вы заканчиваете позже 15 июля, или по иной причине именно в приписном стоит отсрочка до осенних месяцев - то извиняюсь за данный пункт.
2. Если Вы действительно одуманно готовы служить водителем и + мелким механником по машинам категории С (будет дисциплина помимо основ вождения, если пойдёте учиться от военкомата), то обратиться в военкомат по месту жительства в отдел призыва стоит уже сейчас с данным вопросом. Если военкомат одобрит Вашу кандидатуру на службу водителем, а так же у него будет план от государства подготовки к службе водителей на Ваш призыв - то Вам скажут, как и куда писать заявление на поступление в автошколу. Обычно отправляют не ранее, чем за полгода до уже точного призыва в армию. Т. е. если Вы идете осенью, то пошлют явно весной. Но бывают и исключения. Поэтому лучше сейчас обратиться с данным вопросом, что бы и возможно не опаздать, пока план набора на обучение на Ваш призыв не будет выполнен без Вас. С чего Вы взяли, что обратиться в военкомат с подобным вопросом можно только за месяц до призыва - я не понимаю. Законом обращаться в военкомат по вопросам военной службы - можно в часы приёма, в любое время до и после призыва и службы.
3. Обучение в автошколе от военкомата не даёт законных оснований для пропуска в занятий в колледже или отгула на работе. Ведь это добровольная мера подготовки к военной службе, поэтому не даёт законных причин для осовобождения от иных обязанностей. Обычно в автошколе теоретические занятия вечером, а вот практика - днём. Но все от определённой автошколы зависит. Поэтому явно придётся совмещать учебу в колледже и автошколе.

так сперва надо попасть на обучение в ДОСААФ по направлению из военкомата

Липовую справку никакой военкомат не даст. Иди обучаться - будет тебе справка.