Может ли аккорд быть одновременно и мажором и минором?

Если простыми словами - так звучат септаккорды (хотя по науке они бывают как мажорным, так и минорными)

Формально говоря, такие аккорды называются "аккордами с расщепленной терцией".
Например, если взять трезвучие "соль, си, ре" - это мажор. А если "соль, си-бемоль, ре" - минор. Или если взять септаккорд "соль, си, ре, фа" - это малый МАЖОРНЫЙ септаккорд, его чаще всего применяют как "доминанту".

Но попробуй нажми на клавишах (снизу вверх): "соль, фа си, ре, си-бемоль". Аккорд получится вроде бы доминантой - так же стремится разрешиться в тонику. Но при этом он звучит "густо", интригующе, насыщенно. Это - доминанта с расщепленной терцией, в нем присутствуют одновременно и нота "си" и нота "си-бемоль". Такие насыщенные аккорды в-основном используются в джазе.

Но даже в этом случае все-таки нельзя сказать, что это "одновременно мажор и минор" - хотя оба формальных признака налицо. Потому что ПО СМЫСЛУ (по тяготениям в тональности) нота "си" в таком аккорде воспринимается как основа, как законная часть аккорда. А нота "си-бемоль" - как специя, приправа для остроты ощущений. Ноты-то обе есть, но они имеют разный смысловой вес, понимаешь?

По мне, для твоей задачи нужно поступать наоборот. Не снабжать аккорд обоими ладовыми признаками, а наоборот, лишить обоих. То есть, просто выбросить из него терцию. Делать не "мажор и минор одновременно", а "ни мажор, ни минор". Такие вырожденные аккорды применяются в роке, в металле, и называются "квинт-аккордами". Они лишены ладового наклонения, и могут трактоваться слушателем по его желанию. Или вовсе восприниматься БЕЗладовыми, нарочито обесцвеченными. Это очень уместно в депрессивной музыке.

Еще можно упомянуть о задержаниях. Это распространенный прием в гармонии. Берется аккорд, например, "соль, ДО, ре". То есть звук терции в нем "еще не наступил", его приходится ожидать. Аккорд-то вроде уже звучит, но станет он мажорным или минорным - пока не известно, пока звук "до" не разрешится куда-нибудь. Это тоже интригует слушателя, это вызывает эмоцию - а значит достигает целей музыки :-)

До мажор и его паралленьный Ля минор.Просто добавляешь одну ноту ЛЯ и вуаля)))Допустим в басу

Нет. Аккорды строятся на основе трезвучий. Трезвучия состоят из двух терций (больших или малых -- Б3 или М3) и по первой и второй терции называются большими (мажорное -- Б3 и М3), малыми (минорное М3 и Б3), уменшенными (М3 и М3) и увеличенными (Б3 и Б3). Вторые два ни мажорные, ни минорные. Кроме того есть ещё с задержанием -- когда вместо 3 ступени берётся 2 или 4, они имеют нейтральную окраску. На основании трезвучий добавлением ещё одной терции строится септаккорд, количество которых соответственно равно 7, два из которых будут мажорными, а два минорными, два полу- и уменьшенный и один увеличенный, потому как увеличенный ещё увеличить уже некуда.
Ну и все аккорды с добавочными ступенями основываются на этих 4 трезвучиях и т.д.

Скорее ни тем, ни другим.

"Может ли аккорд быть одновременно и мажором и минором?"

Для меня может. Для меня это больше чем мажор и минор, это более сильные чувства. Это синтез земли и неба. Это более высокий эмоциональный уровень. Это страдание и наслаждение одновременно. Это слёзы радости. Прошу прощения за неуместную лирику. Это аккорды Minor 7th и Major 7th. Например Am7, Fmaj7, Em7, Cmaj7, Dm7. На клавиатуре видно, что они одновременно состоят из мажорного и минорного аккордов.