Как спутники увеличивают скорость с помощью других планет?

Опять вы косм. аппараты спутниками называете.

В принципе всё по обычным законам Кеплера и классической механики.. .
Короче, космический аппарат (КА) летит по самой обычной параболической или гиперболической траектории ОТНОСИТЕЛЬНО планеты (напр. Юпитера) и если смотреть с точки зрения Юпитера, никакой выгоды нет.
Давайте для упрощения рассмотрим только "горизонтальную" компоненту скорости vг, см. рис.
В точке А и точке Б "горизонтальная" компонента скорости КА будет одинаковой = vг (из соображений симметрии) .
НО! Сам Юпитер движется относ. Солнца и др. планет, поэтому с точки зрения солнечной системы: нужно к вектору скорости прибавить вектор скор-ти Юпитера (векторное сложение ещё в школе проходят) и получится другая картина. Скорость в точке А = vг - vю, в точке Б vг + vю, вот вам и прирост скорости в 2*vю.
Объяснение, конечно, грубое и упрощённое, и рисунок не очень понятный, надеюсь, хоть что-то стало понятно? :)

Почему именно спутники? Спутники Земли скорость как раз не увеличивают - планеты от них далеко. А зонды, использующие для изменения скорости другие планеты - они, как правило, даже не спутники Солнца, они имеют третью космическую скорость. При пролете мимо планеты ее притяжение изменит, во-первых, направление скорости - это обычно главное, потому что ненужную составляющую движения по окружности вокруг Солнца можно перевести в радиальную составляющую и направиться туда, куда мы летим, более коротким путем. Во вторых. можно изменить и величину скорости - летишь ты себе тихонько и вдруг мимо тебя пролетает планета. Ты под действием силы ее притяжения устремляешься за ней. Догнать ты ее не догонишь, скоро ваши пути разойдутся, но некоторую скорость в направлении этой планеты ты получил (а планета, наоборот, немножко своей скорости потеряла, но планета большая, она потеряет очень мало скорости) . Можно еще несколько улучшить картину, вовремя поддав жару двигателями - как на качелях толчок в нужное время может помочь раскачаться. Все вместе это называется пертурбационным маневром.
Например, космический зонд "Новые горизонты", идущий в настоящее время к Плутону, в феврале 2007 года совершил пертурбационный маневр в поле тяготения Юпитера, увеличив скорость почти на 4 километра в секунду и став самым быстрым кораблем, когда-либо покидавшим пределы Солнечной системы.

притягиваются и промахиваются

Нет.