скорость спутника

Максимум можно разогнать до второй космической. Ниже ее формула.
Для поверхности Земли она равна 11,2 км/с. Чем выше от поверхности тем она ниже. Для упрощенного расчета этой скорости в любой точке надо 11,2 /разделить на корень квадратный из ( расстояния от этой точки до центра Земли /деленный на радиус Земли).

самое удивительное, что если взять ракету на круговой орбите, повернуть ее носом вперед и включить двигатели на плавный разгон - ракета полетит по расширяющейся спирали, но скорость будет падать и падать!

"до какой скорости можно спутник разогнать " - его вообще нельзя разгонять!!! Для каждой орьиты - своя скорость (причём постоянная - только у круговой) Изменишь скорость - изменится орбита.
На эту тему есть ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.

Впрочем скорость на круговой орбите в зависимости от высоты можно посчитать легко и из закона Ньютона.

Кстати, МАКСИМАЛЬНАЯ круговая скорость - на низких орбитах, это так называемая "первая космическая скорость". Если разогнать быстрее - улетит от Земли. Так что не быстрее 9.8 км/сек)))
И да, от удаления конечно зависит - чем дальше - тем гравитация слабее - и скорость медленнее

Чтобы спутник не упал на Землю и не покинул Землю окончательно, скорость спутника должна быть от 7,9 км/с до 11,2 км/с. При этих скоростях спутник будет двигаться по вытянутому эллипсу, причём близко к Земле (перигей) скорость будет наибольшая, а при наибольшем удалении (апогей) скорость наименьшая, но в этих пределах.