Докажите, что выражения а и b имеют одинаковые знаки при любых х и у.

степень буду обозначать значом ^.

a = x^5 + y^5 - x^3y^2 - y^3x^2 = x^3*(x^2 - y^2) + y^3*(y^2 - x^2) =
= x^3(x^2 - y^2) - y^3(x^2 - y^2) = (x+y) (x-y) (x^3 - y^3) =
= (x+y) (x-y)^2*(x^2 + xy + y^2)
В последенем выражении (x-y)^2 - всегда положительно (квадрат любого числа всегда больше нуля.
(x^2 + xy + y^2) - тоже всегда больше нуля, доказать это можно например так:
если x и y - одного знака, то все слагаемые больше нуля, значит и сумма больше нуля.
если x и y - разного знака, и, соответственно, x*y - меньше нуля, то имеем следующие неравенства:
x^2 + xy + y^2 > x^2 + xy + xy + y^2 = (x + y)^2 > 0

Итак выражение a мы разложили на три множителя, два из которых всегда положительны, а третий совпадает с b = x + y.
Поэтому, если b > 0, значит x + y > 0,
и значит a = (x+y) (x-y)^2*(x^2 + xy + y^2) > 0.
Аналогично, если b < 0, то и a < 0 (произведение отрицательного числа и двух положительных всегда дают отрицательное число).

групируя члены можно получить a=(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2, если а/b>0, то а и b имеют одинаковые знаки при любых х и у, но а/b=(x-y)^2(x^2+xy+y^2), первая скобка заведомо больше 0, вторая скобка больше 0, потому что всегда x^2+y^2>xy при любых х и у (по теореме о среднем квадратическом) . что и требовалось доказать.

это дифуры чтоли??? а раньше разбирался а щас уж не помню!