Почему после отрыва бруска от горки они (брусок и горка) будут иметь одинаковые горизонтальные скорости???

1. Брусок от горки не отрывается. Если он перешел на вертикальный участок (а случится ли это - покажет решение), то по горизонт. оси их скорости уравниваются (нет перемещения бруска по OХ относительно поверхности горки.
2. Закон сохр. импульса.
Ваша пометка, "сохр. только х компонента импульса" говорит о том, что Вы суть понимаете.
Но излагать надо так, чтобы никто не придрался.
Записали в общем в векторном виде - сразу укажите что по х выполняется (нет трения), по у не выполняется (есть сила реакции опоры - взаимодействие с Землей).
3. Оценим, какую часть энергии затратим на "разгон" Земли. По умолчанию считается, что Вы это понимаете, поэтому в решении не приводите.
Запишем этот закон сохр. имп для OY с учетом Земли (система замкнута и он выполняется).

0 = mv2y - (M + Мземл) Uземл - отсюда следует Uземл = - v2y m/Mземл
Оценим отношение кинетических энергий Земли и бруска (с учетом только верт. составляущей скорости бруска)
Ебр = m/2 (v2y)^2 Eземл = M/2 U^2 = M/2 (v2y)^2 (m/Mземл) ^2
отсюда Еземл/Ебр = m/Mземл - вывод, в задаче можно пренебречь потерями энергии, связанными с Землей (6*10^24 кг)

3. Найдя горизонтальную скорость v2x = v m/(m+M) можно ответить на вопрос - возможна ли ситуация, что брусок не доберется до вертикальной стенки, а если доберется, то какая будет высота подъема.
Величина скорости (по модулю) v^2 = vx^2 + vy^2 отсюда Eкин = Ex + Ey. Для бруска
mgh = Ey = m/2 v2y^2 = (Екин вначале - Екин горки и бруска по горизонту) =

m/2 v^2 - (m+M)/2 v2x^2

подставте полученное выражение для v2x, сделайте алгебраические преобразования и увидите, что высота подъема определятся сомножителем M/(m+M).
при M-->0 h-->0, при M>>m - она максимальна и mgh=mv^2/2, но при любом соотношении m/M она не становится отрицательной, это ожначает что не вожможна ситуация, когда брусок не достигнет вертикальной части горки ("застрял на половине дороги").

Ни на какую не поднимется. Горизонтальное же движение. Шайба будет ПАДАТЬ. Можно разве что ответить, на какую высоту она ОПУСТИТСЯ относительно исходного положения - но надо задать время опыта.

Потому что горизонтальная скорость шайбы (бруска) относительно горки в момент отрыва нулевая.