Как быстро упадет луна на землю если остановится?

a1 = GM/R^2, a2 = Gm/R^2, суммарное ускорение a = a1+a2,
при том, что a = d^2 R / dt^2.
Решайте диффур (при начальных условиях при t = 0 R = R0, dR/dt = 0).

Формулу - фигушки, дифур решать надо.

Но можно и без дифура, вспомнить 3-й закон Кеплера - квадраты периодов обращения пропорциональны кубам полуосей эллипсов.

Заметим, что падение остановившейся Луны - это движение по о-ооочень сжатому эллипсу (сжатому в прямую!) , у которого точка старта - апогей, а перигей - в центре Земли.

Сравним эту "орбиту" с обычной орбитой Луны. Большая ось нашего эллипса - от орбиты до центра, большая ось реальной орбиты Луны - грубо говоря - 2 радиуса. То есть - отношение полуосей равно (1/2) в кубе.
отсюда - отношение периодов - корень кв. из (1/2)^3

Период нормального полета Луны мы знаем - 27.3суток (относительно звезд! )

Значит период полета по сжатой орбите - 27.3*(1/2)^(3/2) / 2=4.8 суток
(я еще поделил пополам, так как падение - только половина периода)

Строго говоря, надо бы учесть и что Земля и Луна - не точки, и падение произойдет не когда их центры долетят друг до друга, а когда коснуться поверхности - но это уже мелочи, минут 10-12.

Я. И. Перельман. Занимательная астрономия:
Значит, чтобы узнать, во сколько времени Земля упала бы на Солнце, нужно продолжительность года разделить на sqrt(32), т. е. на 5,6. Это составит круглым счётом 65 дней.

Итак, мы вычислили, что Земля, внезапно остановленная в своём движении по орбите, падала бы на Солнце в течение более чем двух месяцев.

Легко видеть, что полученная выше на основании третьего закона Кеплера простая формула применима не к одной только Земле, но и к каждой другой планете и даже к каждому спутнику. Иначе говоря, чтобы узнать, во сколько времени планета или спутник упадут на своё центральное светило, нужно период их обращения разделить на sqrt(32), т. е. на 5,6.
http://www.bodhi.ru/book/perelman_astronomia.htm
Поэтому, например, Меркурий - самая близкая к Солнцу планета, - обращающийся в 88 дней, упал бы на Солнце в 15,5 дней. Нептун, один «год» которого равняется 165 нашим годам, падал бы на Солнце 29,5 лет, а Плутон - 44 года.

Во сколько времени упала бы на Землю Луна, если бы внезапно остановился её бег? Делим время обращени Луны - 27,3 дня - на 5,6: получим почти ровно 5 дней. И не только Луна, но и всякое вообще тело, находящееся от нас на расстоянии Луны, падало бы на Землю в течение 5 дней, если только ему не сообщена какая-нибудь начальная скорость, и оно падает, подчиняясь лишь действию земного притяжения (влияние Солнца мы ради простоты здесь исключаем) .

Ищу ошибку, похоже, промазал, но у меня около 30 часов получилось :-(