как связана разность потенциалов с напряженностью электрического поля?

"Напряженность электрического поля" - это СИЛОВАЯ характеристика поля. Она измеряется СИЛОЙ. с которой поле действует на электрический заряд помещённый в какую-либо точку этого поля.
Математически это записывают при помощи такого соотношения:
E=F/g, где: Е - напряженность, F -сила, g - заряд. Отсюда находим и силу, действующую на заряд: F=E*g.

"Разность потенциалов" - это ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ характеристика поля. Она измеряется РАБОТОЙ, совершаемой полем при перемещении электрического заряда из одной точки поля в другую её точку.
Математически это записывают при помощи следующего соотношения:
A=((y1) - (y2))*g, где: А - работа, (y1) - потенциал первой точки поля, (y2) - потенциал второй точки поля, g - электрический заряд, перемещаемый от первой точки ко второй.
Разность потенциалов обозначают буквой U, поэтому выведенное нами соотношение запишется так:
A=((y1)-(y2))*g=U*g.

Теперь найдём связь между напряженностью электрического поля и разностью потенциалов. Для этого вспомним определение работы из механики: А=F*S, здесь: А - работа, F - сила, S - расстояние.
Считаем, что расстоянием является путь, который электрический заряд проходит, передвигаясь от точки к точке, вдоль силовой линии поля, а сила, действующая на заряд нами уже была найдена ранее из определения напряженности поля: F=E*g, отсюда следует, что: A=F*S=E*g*S.
По разности потенциалов работа равна: A=U*g, отсюда: A=U*g=E*g*S, или: U*g=E*g*S, сокращаем обе чсти равенства на "g" и, окончательно: E=U/S=((y1)-(y2)) / S.
Словами это можно выразить так: "Напряженность электрического поля численно равна изменению потенциала на единицу длины силовой линии".
Словосочетание: "изменение потенциала на единицу длины силовой линии", назвали "градиентом потенциала".

Разность потенциалов - это интеграл от напряжённости по произвольной траектории. Хоть по прямой, соединяющей две точки (только при интегрировании нужно брать компоненту напряжённости, направленную вдоль прямой)

E=-grad(fi)