Можно ли так уравновесить искусственный спутник в космосе, чтобы он не двигался?

теоретически конечно можно.. .
достаточно постоянно придавать спутнику ускорение, обратное его притяжению к главной планете g = GM/R^2 = go / (1 + H/Ro)^2
которое убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до платеты, так что для примера - на расстоянии Луны (384400км) от Земли (Ro=6380км) ускорение нужно примерно в 3600 раз меньшее чем на поверхности и для go=9,8м/с^2 (1g) нужно (1/3600) т. е. "всего-то" 2,7 мм / с^2

достичь таких ускорений можно с помощью тех же двигателей (кстати про топливо никто ничего не говорил! а фантасты давно мазеры и фазеры всякие придумали! )

или например с помощью ооочень бо-о-ольшого солнечного паруса (10-20 кв. км на небольшой спутник) - идея Артура Кларка - рассказ "Солнечный ветер"

двигателями можно все что угодно. Только вот хватит всего на несколько минут.. .

между прочим, нынешним двигателям слабо не то, что заставить аппарат висеть на орбите, слабо даже остановить его (чтобы он камнем по прямой упал на Солнце.

"Относительно близлежащих планет" = относительно Солнца. Потому что планеты все движутся ПО-РАЗНОМУ (как минимум с разной скоростью) , поэтому быть неподвижным сразу относительно ВСЕХ - или даже ДВУХ - планет спутник НЕ МОЖЕТ.
Поэтому и приходится брать единственный "истнно неподвижный" объект Солнечной системы - само Солнце. Относительно него спутник зафиксировать теоретически можно - но для этого придётся как-то скомпенсировать притяжение Солнца. Ускорение свободного падения для Солнца на таком же расстоянии от него, как Земля (чисто к примеру) , - около 0,017g. То есть спутник массой в тонну можно уравновесить силой всего 17 кГс. Что, согласитесь, сущая вшивота.

Есть так называемые "геостационарные" орбиты, на которых спутники "висят" над определенной точкой. Период вращения земли совпадает с периодом обращения спутника, и кажется, что спутник висит неподвижно

Геостационарные спутники давно существуют - как бы висят над одной точкой поверхности - это навигационные спутники, спутники связи, телевизионные и т. д.

Точки Лагранжа посмотри в интернете

Можно "уравновесить" относительно одной отдельно взятой планеты. "Засунуть" его в точку Лагранжа

Геостационарные орбиты так и действуют.

-- уравновесить спутник (двигателями)

суть всех запусков заключается в том чтобы как можно эффективнее использовать все топливо и вывести объект на такую орбиту чтобы можно было на ней держаться продолжительное время малыми силами

если вы ставите задачу "оставаться в какой-то точке против действия каких-то сил" то двигатель это сделать сможет - противодействуя силам смещающим объект но долго он ведь не продержится - придется постоянно тратить топливо и немало

если вы говорите о планетах - то как можно "уравновесить" что-то относительно того что не движется синхронно? земля делает один оборот вокруг солнца за год а марс за это же время почти половину оборота. если сегодня земля и марс находятся по одну сторону от солнца то через год земля вернется в ту же точку а марс будет за солнцем напротив

даже если допустить что имеем систему планет (вы же говорите не о одной планете а нескольких) которые движутся с одинаковыми угловыми скоростями - тогда получаем задачу как минимум трех тел аналитические решения которой неизвестны

нельзя

Погугли про геостационарную орбиту

если относительно одной планеты, то теоретически - можно, но кому это нужно, если там никого нет.

Спутник чего? Земли? Можно.