Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км. От второго его конца, который закреплен, к вам со скоростью 1 см/с

Доползет.
Первым ходом он проползает 1/100 пути, потом 1/200, 1/300 и т. д.
Итого пройденная часть пути = 1/100 * (1+1/2+1/3+...)
Поскольку этот ряд расходится, то когда-нибудь его сумма достигнет 100, и тогда жук проползет весь путь.
Никакого дифуравнения не надо.
Подробное решение здесь, 21 -ая задача.
http://www.math.ru/lib/files/pdf/evdokim.pdf

Что, сразу на километр удлиняем? Нет, не доползет, пожалуй.... Но на всякий случай уточним - перемещение жука измеряется относительно подвижной точки на шнуре, в которой он в данный момент находится? Что означает "проползет 1 см"?

Это известная задача. Доползет, если считать резину бесконечно растяжимой, а жука - бессмертным. Времени ему потребуется столько, что его даже астрономическим не назовешь, - так оно велико.

Но задача эта едва ли уместна для Ответов, потому что общими рассуждениями она не берётся. Надо честно составлять дифференциальное уравнение и решать его. Тогда вы получите, что жуку потребуется (e^100000 - 1) секунд, чтобы добраться до противоположного конца.

Вот ссылка на полное решение (на английском) :

http :// www. feynmanlectures. info/ solutions/bug_on_band_sol_3.html

(пробелы уберите).

Не доползёт. Резина имеет предел прочности на разрыв, плюс, жук имеет ограниченное время жизни. Ни то, ни другое не позволят жуку благополучно завершить процесс. В крайнем случае, он впечатается в вас под разгоном лопнувшей резины.
Если предел растяжения бесконечен, и время жизни жука тоже, то никогда не доползёт, т. к. в пределе расстояние от жука до конечной точки равно бесконечности.

примерно три с половиной часа, если грубо округлить, если я буду двигаться со скоростью 1км/с, то как раз за это время пробегу вокруг земного шара, если конечно не сгорю в атмосфере

У всего есть предел, так же как и у резины, зависит от плотности и эластичности материала, ну в конечном итоге жук никуда не доползет, резинка порвется