Можно ли ночью наблюдать на небе радугу?

Можно. Довольно часто можно наблюдать гало - когда вокруг луны видна небольшая корона из льда или пара. Отраженный и преломленный ледяными кристаллами свет нередко разлагается в спектр, что делает гало похожим на радугу.
Подобно тому, что радуга после дождя появляется в результате солнечного освещения, лунные радуги появляются из-за освещения Луной. Поскольку Солнце значительно ярче Луны, то солнечные радуги также более яркие и наблюдаются чаще лунных. Так как лунный свет представляет собой отраженный солнечный, то цвета радуги почти совпадают. Лунные радуги бывают не только зимой - в сильный мороз. Как солнечные, так и лунные радуги возникают в результате преломления света на мельчаших капельках воды, которые играют роль миниатюрных призм, создающих спектральное изображение в видимых лучах. Сходите в Википедии по "Ссылкам" - там красивые фото.

Можно, но только от лунного света. Такие случаи известны.

Да, ночью можно наблюдать лунную радугу (moonlight rainbow или lunar rainbow). Явление в наших местах редкое, но достаточно красочное.

Источник фото: http://photo.net/photodb/photo?photo_id=1017092

Да, такое явление иногда бывает перед сильными морозами

Нет. Это преломление солнечного света в мелких капельках влаги.

Если говорить о цветной радуге которую мы видим днем, то невозможно, т. к. она появляется за счет интерференции солнечного света в капельках воды, а солнца ночью нет. Если же рассматривать другой источник света, например луну, то я думаю возможно, т. к. интерференция может происходить в любое время дня и года, главное чтобы был хороший источник света и насышенный влагой воздух.

только при свете