Какие операции с двоичными числами может выполнять процессор вычислительного устройства?

Процессор - это своего миникомпьютер, работающий по микропрограммам. Поэтому, хотя собственно аппаратура умеет очень мало (сдвиг и и сложение) , выполняемые процессором команды могут быть довольно сложными, включая обработку массивов байтов, организацию циклов и так далее. Кроме того, архитектура процессора - совсем не то, что имеется в действительности. У процессора много скрытых наборов регистров, подменяющих друг друга, бывает несколько арифметико-логических устройств, очереди команд, конвейерная обработка, предсказание ветвлений и т. д. Больше того, он умеет оптимизировать последовательности команд, выполняя не те, что поступают ему на вход, а заменяя при целесообразности эквивалентными более короткими цепочками. Ну и плюс арифметический сопроцессор, это "особая статья", он работает с очень сложным представлением чисел.

На "нижнем уровне" двоичный процессор умеет делать всего две операции - побитовое сложение в АЛУ и сдвиг битов в своих регистрах.
На уровне команд процессора (уровень ассемблера) процессор "умеет" немного больше,
Есть такое понятие как "набор команд процессора", число команд в котором зависит от типа процессора. Так, например CISC-процессор DEC PDP-8 имеелтолько 8 основных и несколько расширенных команд. Intel 8086 (IBM PC XT) имел около 400 кодов команд. В целом, если рассматривать в историческом аспекте, число команд процессорв увеличивается, в основном за счет перевода обработки мультимедиа на из программного на процессорный уровень.

арифметические
логические
сдвиг

В целом, ответ, данный Krab Вark, вполне точен.
Чуть-чуть дополню. К базовым "умениям" процессора надо либо добавить способность сравнивать, либо доопределить, что будет базовым набором:
1. Сдвиг и сложение;
2. Сдвиг и сравнение;
3. Сдвиг, сложение и сравнение.

Важно понимать, что АЛУ (арифметико-логическое устройство), являющееся и поныне "сердцем" любого процессора, работает в двоичной системе с точки зрения вычисления. Она же, по сути -- работа с логическими величинами.
Отсюда дуализм в представлении операций и данных. Принято сопоставлять 0 логической величине FALSE (ложь), а 1, соответственно -- TRUE (истина).
Кроме того, есть ещё одна операция, доступная АЛУ -- инверсия (инвертирование = отрицание).

Довольно таки разные.