Объясните уравнение Роберта Майера (физика)

Применим формулу (18.5) к идеальному газу. По закону

гг ( п т/ I dV

Джоуля -оу-)т = 0, из уравнения Клапейрона следует (-^rL =

= RIP. Поэтому указанная формула дает

CP-CV = R. (20.1)

Это важное соотношение называется уравнением Роберта Майера.

Приведем еще один вывод уравнения (20.1). Пусть один моль идеального газа находится в цилиндре с поршнем. Закрепив поршень, повысим температуру газа на dT. Так как объем газа остается постоянным, то количество тепла, необходимое для такого нагревания, равно 6VQ = CydT. А так как при этом не производится работа, то это тепло равно приращению внутренней энергии газа:

CvdT = dU. (20.2)

Произведем теперь с тем же газом другой опыт. Пусть начальное состояние (Т, V) будет тем же самым, что и в предыдущем опыте, но поршень не закреплен, а может свободно перемещаться под постоянным внешним давлением Р. По определению теплоемкости СР

для повышения температуры газа на dT потребуется тепло SPQ = = CpdT. При этом газом будет совершена работа 6Л = PdV. Так как давление постоянно, то эту величину можно записать в виде 6Л = d (PV) = d (RT) = RdT. А так как внутренняя энергия газа зависит только от температуры, то она изменится на столько же, на сколько и в предыдущем опыте. Таким образом, во втором опыте

CpdT = dU + RdT.

Подставив вместо dU выражение (20.2), мы снова придем к формуле (20.1).

Последний вывод особенно ясно показывает, что различие между Ср и Cv в случае идеального газа обусловлено только работой, которую совершает газ при расширении против постоянного внешнего давления. Важно подчеркнуть, что вывод использует закон Джоуля о независимости внутренней энергии идеального газа от занимаемого им объема.

2. Измерив теплоемкости СР и Cv газа, можно вычислить механический эквивалент теплоты. Для этого можно воспользоваться уравнением Роберта Майера (20.1). Измеряя количество тепла в калориях, можно на опыте найти разность СР — Cv в тепловых единицах. С другой стороны, газовую постоянную R можно измерить в механических единицах. Если пользоваться 20-градусной калорией, то измерения дают

СР - Cv = 1,986 кал/(К моль) ,

R = 8,314 107 эргДК-моль) .

Приравнивая эти две величины, получаем

1 кал = 4,18-107 эрг = 4,18 Дж.

Именно таким путем в 1842 г. механический эквивалент теплоты был вычислен теоретически немецким врачом Робертом Майером — одним из основоположников механической теории теплоты и первого начала термодинамики. Правда, найденное им значение механического эквивалента было заметно меньше истинного, что объясняется неточными значениями теплоемкостей воздуха СР и Су, которыми он располагал. Впервые достаточно точное значение механического эквивалента теплоты было определено в классических опытах Джоуля, начатых в 1847 году. Эти опыты общеизвестны, и нет необходимости останавливаться на их описании. Последующие измерения уточнили значения СР и Су для газов. Пользуясь этими значениями, было показано, что метод Р. Мейера, метод Джоуля и другие прямые методы, аналогичные методу Джоуля, приводят к одинаковым значениям механического эквивалента теплоты. Это было бы не так, если бы энергия идеального газа, помимо его температуры, зависила еще от объема. Поэтому отмеченное совпадение может служить одним из экспериментальных подтверждений закона Джоуля о независимости внутренней энергии идеального газа от его объема.