Возможно ли спроектировать такую нейронную сеть, которая сама бы изменяла свою структуру и обучалась?

Если под структурой понимать связи между элементами (типа, как аксоны между нейронами) , то сейчас нет таких искусственных нейронных сетей, которые могут менять свою структуру. То есть современные нейронные сети не могут себя перестраивать (в том числе и персептрон) .
Максимум, что можно сделать, это организовать связи между всеми элементами нейронной сети, то есть, чтобы все элементы такой сети были попарно связаны друг с другом без посредников. В дальнейшем в процессе обучения часть этих связей будет как бы "отмирать", станет незадействованной, будет иметь весовой коэффициент равный нулю. То есть физически связи как бы есть, но не используются.
Организация таких изначальных избыточных связей очень неэффективна и в экономическом отношении и в самом процессе обучения (обучение идет долго) .
А такого, чтобы связи сами "прорастали" как в мозге, без участия внешних рабочих, или хотя бы система выдавала людям информацию каких связей не хватает для дальнейшего обучения, вот такого пока нет.
Это приводит к существенному ограничение нейронных сетей по классу обучаемых задач. Для распознавания графических символов нужна одна нейронная сеть, а для поиска неисправностей в компьютерной сети другая нейронная сеть, а для биржевых прогнозов третья нейронная сеть и т. п. То есть идет узкая специализация нейронных сетей с невозможностью их переобучения в другую отрасль без существенных технических переделок. Поэтому, столкнувшись с новым кругом задач, нейронная сеть не может обучиться этому новому кругу задач и не может перестроить сама свою структуру под эти задачи.

Да.
Она была спроектирована в 1957 году Фрэнком Розенблаттом и называлась Перцептрон.
Жаль только, что она не оправдала возложенных на неё надежд.
Да и вообще концепция нейронных сетей абсолютно бесперспективна.
Попытка выявлять сущности на основе статистических измерений обречена на провал.
Лучше попробуйте дизъюнкт Хорна - этот подход выглядит более перспективным.

а машина Тьюринга?