Что такое масса и откуда она берется у вещественных объектов?

Вопрос не так прост. Если действительно интересуетесь, можете почитать книжку М. Джеммер Понятие массы в классической и современной физике. Она не совсем современна, но в ней прекрасно описаны многие проблемы, связанные с определением понятия массы. К сожалению, там нет современных взглядов на понятие так называемой "релятивистской массы", с которыми можно познакомиться в прекрасных статьях Л. Б. Окуня, (есть на сайте журнала УФН ("Успехи физических наук")), а также о механизме возникновения массы в Стандартной модели (о механизме Хиггса) , с которым можно познакомиться, например, в Википедии и по ссылкам из неё.

Дополняя ответ Krab Bark скажу, что и инертная, и гравитационная массы пропорциональны полной энергии тела. Собственно гравитационные свойства тела определяются не напрямую его массой, а тензором энергии-импульса.

Сейчас существует два определения массы: "школьное", в котором существует релятивистская масса, изменяющаяся с изменением скорости, и более современное, при котором масса со скоростью не меняется, приведенное Arbeit macht Verstand frei. Разница подробно разбирается в статье Википедии "Масса".
Кроме того, существуют два вида массы: инерционная и гравитационная. Одна всегда равна другой, но это экспериментальный факт, выясненный с высокой точностью, хотя теоретическое обоснование его отсутствует. Инерционная масса объектов объясняется вроде бы открытым сейчас полем Хиггса, гравитационная по общей теории относительности представляет собой степень искривления объектом пространства-времени.

Ого какой вопрос. Тут, пожалуй, нобелевские лауреаты по физике затруднятся ответить. Это фундаментальное свойство вещества.

Масса - это количество вещества в объекте, или, что то же самое, это количество элементарных частиц, которые пришлось затратить на создание объекта.