С точки зрения физики оба утверждения, что Земля "вращается" вокруг Солнца и Солнце "вращается" вокруг Земли верны?

Да, оба верны, все зависит от выбранной системы отсчета. Возможна такая система отсчета, в которой и Солнце, и Земля будут не вращаться, а двигаться "змейкой", и это тоже будет верно.
Просто система отсчета, связанная с Солнцем (а Земля вращается вокруг него) более практична, законы движения выражаются достаточно просто, и удобно производить расчеты.

С точки зрения физики Земля с Солнцем вращаются вокруг общего центра масс.

Да, оба верны. Вращение Земли вокруг Солнца - годичный цикл, а вращение Земли вокруг собственной оси - суточный. Разумеется, если мы говорим о нормальной физике. В интернете можно найти много размышлений с прибамбасами, но это уже "альтернативная" физика, или, проще говоря, чепуха.

В принципе, вы где-то правы.
Технически 2 этих небесных тела вращаются вокруг общего центра масс. Однако масса Солнца настолько больше массы Земли, что оно остаётся практически неподвижным.

Всё дело в геометрии.
Если записать уравнения движения Земли вокруг солнца, то всё можно представить в евклидовом пространстве и все расчёты будут не сложными.
Если перейти в систему координат связанную с Землёй, то переход координат от системы Солнца к системе Земля будет не линейный. И если подставить формулы перевода координат в формулу метрики, то возникнут не диагональные члены с переменными коэффициентами. То есть метрика станет неевклидовой. Это означает, что придётся все рассматривать в неевклидовой геометрии. А это очень сложно.
А всякие " смешные штуки - "момент импульса", "момент вращения", "кориолисова сила" " - это уже будет продукт не евклидовой геометрии.

"С точки зрения физики оба утверждения, что Земля "вращается" вокруг Солнца и Солнце "вращается" вокруг Земли верны? "
Неа, неверны.
Есть такие смешные штуки - "момент импульса", "момент вращения", "кориолисова сила"
И вот как раз с т. з. физики АБСОЛЮТНО ВАЖНО, где находится истинный центр вращения.

"А система координат и "другие тела" выбираются по нашему усмотрению. "
Неа, нихрена не выбираются.
С "произвольным центром" вы даже ракету "куда надо" не запустите

Нет, всё не так. Вся Вселенная вращается вокруг Земли. Всё относительно, с какой точки взглянуть.

Земля и ещё 7 планет вращаются вокруг Солнца, а Солнце со своими планетами (Солнечная система) в свою очередь вращается вокруг центра Млечного пути. Один "солнечный год" = 200 млн. лет, т. е за это время Солнце делает один оборот вокруг центра Млечного пути.

Ага, еще она плоская и стоит на трех китах.

нет земля вращается вокруг солнца