Как исследовать функцию? (последовательность действийс подробным описанием каждого)

1. Область определения или чему равен X.
2. Множество значений или чему равен Y.
3. Нули функции или:
X = 0, тогда Y = ...и наоборот
Y = 0, тогда X = ...
4. Максимумы и минимумы функции, экстремумы и точки экстремумов.
Как производная меняет знак с (+) на (-) или наоборот.
(f(x))' = f'(x)
f'(x) = 0
x1 = ...и x2 = ...=> найдем Y-и.
5. Вогнутость и выпуклость функции - найти вторую производную, приравнять ее к нулю.
6. Дополнительные точки.
************************************
Строим функцию. Исследование завершено.

гониж да?

исследование функции заключается в определении обрасти определения, области принимаемых значений, выявлении особых точек (максимумов, минимумов, разрывов)...
хотя бы вот так

Странно задавать такие вопросы. Прямой поиск в интернете даст результат быстрее и точнее.
Если коротко:
1. Область определения
2. Область значений, непрерывность, особые точки
3. Нули функции, промежутки на которых функция сохраняет знак ( больше нуля, меньше нуля)
4. Четность или нечетность
5. Периодичность
6. Первая производная, нахождение точек в которых производная равна нули или не существует
7. Промежутки возрастания и убывания функции, локальные экстремумы (минимумы и максимумы)
8. Вторая производная, ее нули и особые точки, выявления участков выпуклости (вогнутости), точки перегиба
9. Поведение функции на бесконечности, асимптоты
10. Построение графика функции

Подробное описание каждого действия - смотри в учебнике. Потому, что за каждым пунктом - подробной информации на один и более параграфов.