Естественные науки
Как нужно исследовать функцию на монотонность? y = Vx (игрек равен корень из икса).
Конкретно, зачем нужен метод от противного? Vx1 >= Vx2
Он нужен для следующего.
Предположим, что функция не возрастает, т. е. Vx1 >= Vx2 при условии, что x2 > x1
Т. к. обе части неравенства положительны, то из того, что левая часть больше правой, следует, что квадрат левой части больше квадрата правой части. Но квадрат корня из х - это сам х. Поэтому отсюда следует, что х1 >= х2. Но это противоречит условию (x2 > x1). Значит, наше предположение о невозрастании функции неверно. Следовательно, она возрастает.
Предположим, что функция не возрастает, т. е. Vx1 >= Vx2 при условии, что x2 > x1
Т. к. обе части неравенства положительны, то из того, что левая часть больше правой, следует, что квадрат левой части больше квадрата правой части. Но квадрат корня из х - это сам х. Поэтому отсюда следует, что х1 >= х2. Но это противоречит условию (x2 > x1). Значит, наше предположение о невозрастании функции неверно. Следовательно, она возрастает.
Производную проходили? Если да, то постоянство знака производной в любой точке означает монотонность функции
Если не проходили, то вкратце:
Представим, что мы выбрали на функции произвольную точку x и запомнили значение функции в этой точке (y₁ = √x). Если теперь отступить от неё вправо на некоторое расстояние dx, то значение функции в новой точке будет равно y₂ = √(x+dx)
Если функция монотонна, то при любом значении x, значение dy = (y₂ - y₁) или всегда больше нуля (функция монотонно возрастает) или всегда меньше нуля (функция монотонно убывает). Вот и проверим
dy = (y₂ - y₁) = √(x+dx) - √x // тут уже очевидно что при положительном dx, dy всегда больше нуля, но мы всё же его посчитаем
dy = (√(x+dx) - √x)(√(x+dx) + √x) / (√(x+dx) + √x)
dy = ((x+dx) - x) / (√(x+dx) + √x)
dy = dx / (√(x+dx) + √x)
Учитывая, что x в вещественных числах не может быть меньше нуля, а dx по условию положительно, значит и числитель и знаменатель положительны. Следовательно (dy ≥ 0) при любых значениях x. Значит функция монотонно возрастает.
P.S. Разумеет при оформлении решения всех этих пояснения писать не надо и достаточно написать 3 строчки, в которых мы искали значение dy.
Не заметил, что Вас интересует метод от противного, простите. Если не станет лень, сейчас опишу в комментарии метод от противного.
Если не проходили, то вкратце:
Представим, что мы выбрали на функции произвольную точку x и запомнили значение функции в этой точке (y₁ = √x). Если теперь отступить от неё вправо на некоторое расстояние dx, то значение функции в новой точке будет равно y₂ = √(x+dx)
Если функция монотонна, то при любом значении x, значение dy = (y₂ - y₁) или всегда больше нуля (функция монотонно возрастает) или всегда меньше нуля (функция монотонно убывает). Вот и проверим
dy = (y₂ - y₁) = √(x+dx) - √x // тут уже очевидно что при положительном dx, dy всегда больше нуля, но мы всё же его посчитаем
dy = (√(x+dx) - √x)(√(x+dx) + √x) / (√(x+dx) + √x)
dy = ((x+dx) - x) / (√(x+dx) + √x)
dy = dx / (√(x+dx) + √x)
Учитывая, что x в вещественных числах не может быть меньше нуля, а dx по условию положительно, значит и числитель и знаменатель положительны. Следовательно (dy ≥ 0) при любых значениях x. Значит функция монотонно возрастает.
P.S. Разумеет при оформлении решения всех этих пояснения писать не надо и достаточно написать 3 строчки, в которых мы искали значение dy.
Не заметил, что Вас интересует метод от противного, простите. Если не станет лень, сейчас опишу в комментарии метод от противного.
Алексей Памин
42 958
Алексей Памин
Допустим, что существует такой участок функции, на которой она не возрастает.
Тогда для этого участка верно утверждение, что при (x₂ > x₁) будет выполняться неравенство (√x₁ ≥ √x₂). При чём x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0
Образуем систему и определим существует ли такие x₁ и x₂
x₂ > x₁
√x₁ ≥ √x₂
x₂ > x₁
(√x₁)² ≥ (√x₂)²
x₂ > x₁
x₁ ≥ x₂
Эта система решений не имеет, а значит не существует таких участков функции, где она бы не возрастала.
Тогда для этого участка верно утверждение, что при (x₂ > x₁) будет выполняться неравенство (√x₁ ≥ √x₂). При чём x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0
Образуем систему и определим существует ли такие x₁ и x₂
x₂ > x₁
√x₁ ≥ √x₂
x₂ > x₁
(√x₁)² ≥ (√x₂)²
x₂ > x₁
x₁ ≥ x₂
Эта система решений не имеет, а значит не существует таких участков функции, где она бы не возрастала.
Похожие вопросы
- Помогите, плиз, Найти наибольшее и наименьшее значения функции z (x,y) в замкнутой области D. Z= sin y +sin (x+y)
- Как продифференцировать неявно заданную функцию?(внутри) x3 y +3 x y2 – 3x2 +y =0
- Математика. Исследовать функцию на екстремум: у=х в кубе вычесть 3ч в квадрате
- Как исследовать функцию? (последовательность действийс подробным описанием каждого)
- Зачем нужно исследовать космос?
- Чему равен корень из минус единицы?
- Зачем нужно исследовать космос?
- Есть 100 объектов, которые нужно исследовать. Сколько достаточно взять для получения "нормальной" статистики?
- Зачем нужно разлагать функцию в точке x-a ряд Тейлора, если можно просто разложить в точке x?
- Википедия врёт или Я не понимаю определение функции? Одному x один y???
∀x₁ ∈ ℝ, ∀x₂ > x₁, √x₁ >= √x₂
Если да, то приведя его к противоречию, вы доказали не то, что требовалось. Ведь требовалось доказать, что
НЕ СУЩЕСТВУЕТ таких x₁ и x₂, что x₂ > x₁ и √x₁ >= √x₂.
Вы же доказали лишь то, что
СУЩЕСТВУЮТ такие x₁ и x₂, для которых следующая система неравенств неверна x₂ > x₁ и √x₁ >= √x₂.
То есть Ваше доказательство неверно, ведь оно доказывает лишь то, что функция не может монотонно убывать :)) Но это всё ещё не говорит ничего о том, является ли она монотонно возрастающей.