Если вокруг Земли построить кольцо, а потом убрать опоры, что с ним будет? Оно будет висеть в воздухе или...

Любое микровоздействие и кольцо с грохотом упадёт.

Если даже ты найдешь материал, способный не сломаться при таких размерах, кольцо все равно упадет, т. к. равновесие будет неустойчивым. Малейшее отклонение (а оно произойдет практически сразу же) - и кольцо неудержимо пойдет в сторону. Другое дело, если это кольцо будет вращаться с 1-й космической скоростью. Тогда оно будет довольно устойчивым, и для покрытия отклонений будет достаточно сравнительно слабых двигателей. И кстати, отпадет надобность в фантастической прочности материала.
Если кольцо будет иметь радиус 44000 км, тогда вместо двигателей можно использовать тросовые растяжки, т. к. на этой высоте 1-я космическая скорость в угловом выражении равна скорости суточного вращения Земли. Иными словами, тогда кольцо сможет вращаться синхронно с самой планетой.

будет висеть

А если взять планету в форме бублика, и самому зависнуть в центре бублика...
Будешь в положении неустойчивого равновесия.

Ну, раз опоры, то скорость кольца относительно других соседних тел будет равна скорости планеты, относительно планеты - нулю. Дальше само подумай.

может остаться висеть только если его заставить вращаться относительно земли

Или.
Если бы Земля была единственным телом во Вселенной и при этом идеальным шаром, может быть, кольцо бы и осталось висеть.
Но на практике оно упадёт. (На практике оно даже вряд ли может быть построено, но это другой вопрос.)
Ибо это равновесие неустойчивое.

Фитнес планеты с обручем)

Ага, хулахуп !

тебе зачем

упадёт. Попробуй карандаш на острый грифель поставить