через сколько времени после облучения радиацией человек начнёт испытывать недомогания?

Нужно уточнить, что такое "испытывать недомогания"
В Радиационной безопасности существуют понятие эффектов облучения:
детерминированные эффекты - клинически выявляемые вредные биологические эффекты, вызванные ионизирующим излучением, в отношении которых предполагается существование порога, ниже которого эффект отсутствует, а выше- тяжесть эффекта зависит от дозы.
стохастические эффекты - вредные биологические эффекты, вызванныеионизирующим излучением, не имеющие дозового порога возникновения, вероятность возникновения которых пропорциональна дозе и для которых тяжесть проявления не зависит от дозы.
Вводится понятие Предел дозы (ПД) - величина годовой эффективной или эквивалентной дозы
техногенного облучения, которая не должна превышаться в условиях нормальной работы.
Соблюдение предела годовой дозы предотвращает возникновение детерминированных
эффектов, а вероятность стохастических эффектов сохраняется при этом на приемлемом
уровне.
Для населения ПД -1 мЗв в год (приблизительно 0,1 Рентгена)
Для персонала (который работает с ИИИ-источниками ионизирующего излучения) -20 мЗв в год
(2 Р в год)
Раньше было понятие ЛД 100/30 (летальная доза 100% облученных умирают в течении 30 дней_ -это где-то 600 Р (6000 мЗв)

Человек был в Чернобыле. Недомогание испытал, когда увидел куда его отправляют. Вернулся здоров. Говорит, что "водка хороша от стронция".

это зависит от дозы

облучённые ткани распадаются сразу - в кровь поступают из клеток белки, ферменты, биологически активные в-ва - кинин, гистамин, серотонин и др. появляются тошнота, рвота, головная боль, слабость; повыш. общ. температура тела. - первичная реакция на облучение.
доза до 200 рад - рвота ч/з 3 часа;
доза от 600 рад рвота ч/з 1/4 часа.
доза более 1000 рад - слабость, боли в животе, неукротимая рвота, отёк головного мозга, падение АД, нейтрофильный лейкоцитоз
. Однако даже и в этот латентный период имеются признаки лучевого поражения - гиперемия кожи, сухость во рту. В крови резко падает количество лимфоцитов, достигая минимального уровня к 48 - 72-му часу после воздействия. Чем выше доза, тем глубже лимфопения.
получивший от 400 рад ч/з неделю после облучения умирает в страшных муках.
http://doctorvic.ru/bolezni-i-sostoyaniya/others/luchevaya-bolezn

от факторов доли зависит