В чём отличие обозначения частной проиводной от обычной

Если обозначать частную производную так же, как и обычную, то может возникнуть несоответствие.
Поясню на простом примере, в чём оно заключается. Но сначала общие слова.

Пусть есть функция f(x, y) - функция двух переменных, причём y = g(x) - функция одной переменной. Если подставить g(x) вместо y в f(x, y), то получится функция одной переменной. От неё можно взять обычную производную по известному правилу. Если же рассматривать f(x, y) именно как функцию двух переменных, то от неё можно взять частную производную по переменной х, зафиксировав y в качестве постоянной величины. В первом случае получится df/dx, а во втором - Df/Dx. Результаты в обоих случаях могут быть различны.

А теперь сам пример.

Пусть дано f(x) = x + y, y = e^x. Найти

1) df/dx (обычную производную)
2) Df/Dx (частную производную)

Решение.

1) Подставляем e^x вместо y в x + y и получаем x + e^x. Легко найти производную этой функции. Ответ: df/dx = 1 + e^x

2) Фиксируем y в качестве постоянной величины (на зависимость y от х не обращаем внимания) и ищем частную производную функции f(x, y).
Ответ: Df/Dx = 1.

Именно, что правила взятия разные, хотя, казалось бы, похожие Неудивительно, что вышли разные результаты. Неудивительно поэтому, что и обозначения разные.

И ещё: если бы зависимость y = g(x) нам не была дана, и y был бы независимой переменной, то первое задание было бы некорректным (в ответе это можно было бы так и написать), а второе - корректным.

Потому что для функций нескольких переменных может вводиться еще понятие ПОЛНОЙ производной. И вот она обозначается традиционно.

Рассмотрим для примера лагранжиан - L(q(t), q'(t),t). То есть, это функция которая зависит от координат, скоростей и непосредственно времени, причем координаты и скорости тоже зависят от времени. Тогда полная ("обычная") производная dL/dt = (DL/Dq)(DQ/Dt) + (DL/Dq')(Dq'/Dt) + DL/Dt, где D/Dt - частная производная по времени. Аналогично для скорости и координаты.
То есть, с точки зрения физического смысла - частная производная по времени в точке - это линейная часть приращения функции по времени, при условии, что координаты и скорости систем не изменятся. А если еще более наглядно - представим, что у нас есть маятник (как в часах), НО, сила притяжении земли будет все время меняться, при чем так, что это изменение не будет зависеть от координаты и скорости маятника, а только времени. Тогда частная производная по времени нам даст возможность посмотреть на свойства системы, которые появляются только из-за изменения гравитационного потенциала.
И вообще, можно просто смотреть на это как на математическую строгость - все таки обычная производная и частная имеют принципиально разные определения и глупо было бы их обозначать одинаково.

ваще ни знаю

''''

Рассмотрим для примера лагранжиан - L(q(t), q'(t),t). То есть, это функция которая зависит от координат, скоростей и непосредственно времени, причем координаты и скорости тоже зависят от времени. Тогда полная ("обычная") производная dL/dt = (DL/Dq)(DQ/Dt) + (DL/Dq')(Dq'/Dt) + DL/Dt, где D/Dt - частная производная по времени. Аналогично для скорости и координаты.
То есть, с точки зрения физического смысла - частная производная по времени в точке - это линейная часть приращения функции по времени, при условии, что координаты и скорости систем не изменятся. А если еще более наглядно - представим, что у нас есть маятник (как в часах), НО, сила притяжении земли будет все время меняться, при чем так, что это изменение не будет зависеть от координаты и скорости маятника, а только времени. Тогда частная производная по времени нам даст возможность посмотреть на свойства системы, которые появляются только из-за изменения гравитационного потенциала.
И вообще, можно просто смотреть на это как на математическую строгость - все таки обычная производная и частная имеют принципиально разные определения и глупо было бы их обозначать одинаково.