Зачем учёные носят головной убор с квадратными полями и кисточкой сбоку?

Носят его только в особенных случаях, это часть церемониальной одежды - мантия и квадратная академическая шапочка. Я этот головной убор видел живьем дважды в жизни - на вручении мне дипломов.
Как и любая церемониальная одежда (парадная униформа военных, праздничное облачение священников и т. д.) эта одежда служит для того, чтобы подчеркнуть торжественность момента.

реально носят??? вообще-то только в некоторых университетах выпускники одевают на церемониях вручения дипломов. и все. Традиция. И поют Гаудеамус

В обществе существует социальная лестница. На нижней ступени этой лестницы видимый размер головы уменьшают (обривают или плотно обтягивают платком). На высших ступенях - увеличивают видимый размер головы с помощью распушенной причёски и головных уборов.

Причём, чем выше социальный статус, тем больше можно и нужно делать видимый размер головы.

Военные и церковные чины увеличивали размер головы высокими головными уборами. Творческие люди - широкими. К широким головным уборам относятся простейшие (береты) и более сложные (шляпы).

Шляпы тоже делятся на две категории сложности: сложные современные, когда поля имеют вид кольца и опущены вниз. И древние, когда поля представляют собой квадратный кусок чего-то пришитый сверху к шапочке шнурком. Конец шнурка не обрезался, что ещё визуально увеличивало размер головы.

Английская островная система образования является дочерью церкви и почти точно унаследовала церковные головные уборы, - примитивную шляпу.

Германская/советская система образования (которая сейчас в загоне) была более продвинутой и не практиковала этот дикий обычай.

Как-то так)