Доброго времени суток.
Возник такой вопрос...
Известно, что с помощью теоремы Виета многие квадратные уравнения можно решать устно не прибегая к поиску корней через дискриминант или прочие способы решения квадратных уравнений...
Однако мне не понятно каким образом это происходит...
Быть может кто нибудь из завсегдатаев и гостей категории сможет мне помочь и доступно "как чайнику" на пальцах объяснить как это работает...
Пример:
Мы имеем приведённое квадратное уравнение x^2 - 7x - 60 = 0
Согласно теореме Виета
x1+x2 = -b/a
т. е. x1+x2 = -7
но, -7 может быть суммой многих чисел (-6 + (-1), -5 + (-2), -10 + 3, -20 + 13 и т. п.)
Следовательно мы не можем точно определить корни квадратного уравнения...
Так же известно что
x1*x2 = с/a
т. е. x1*x2 = (-60)
60 так же может быть произведением разных чисел ( -6 и 10, 3 и -30, -5 и 12, 4 и -15 и т. п.) следовательно мы вновь не можем точно найти квадратные корни уравнения...
Пробуем решить уравнение через дискриминант:
D = 7^2 - 4 * 1 * (-60)
D = 49 + 240
D = 289
x1 = (-7 - √289)/2
x1 = (-7 - 17)/2
x1 = -24/2
x1 = -12
x2 = (-7 + √289)/2
x2 = (-7 + 17)/2
x2 = 10\2
x2 = 5
Проверяем:
-12 + 5 = -7 - сходится
-12 * 5 = -60 - сходится
Нет, ну в принципе если искать необходимое методом исключения корни можно найти в уме но время затраченное на подобного рода поиски лично для меня превысило бы отрезок за который можно составить решение письменно...
Может быть существуют какие то особые способы быстро в уме определить корни квадратного уравнения при помощи теоремы Виета...
Будьте добры помогите разобраться в данном вопросе...)
Естественные науки
Как при помощи теоремы Виета устно решать квадратные уравнения? (+)
Если первый коэффициент равен 1, а остальные целые числа и корни тоже целые и небольшие по величине, тогда перебором можно быстро найти корни, а в более сложных случаях только если долго и упорно тренироваться.
Михаил Киселев
т. е. фактически данный метод пригоден лишь для простейших случаев?
при помощи теоремы Виета можно решать искусственные уравнения, специальнопридуманные для школьников.
в реальной-то жизни с чего корням быть целым?
в реальной-то жизни с чего корням быть целым?
Сергей Ульянов
92 677
Михаил Киселев
О реальной жизни никто и не говорит)
Порознь, как ты делаешь, и впрямь тягомотно. Именно в виде системы и надо подбирать.
Но.
Категорически советую НЕ использовать теорему Виета. Дело в том, что вы в процессе решения не застрахованы от случая D<0 (нет корней); и такие примеры могут быть даже (по недосмотру) в экзаменах. Например, такие задания были на вступительных экзаменах в КФЭИ (Казань) в 1997 году - пример по т. Виета решался, но корней в некоторых примерах не было, соответственно сверочные решения завкафедрой были неверными.
Но.
Категорически советую НЕ использовать теорему Виета. Дело в том, что вы в процессе решения не застрахованы от случая D<0 (нет корней); и такие примеры могут быть даже (по недосмотру) в экзаменах. Например, такие задания были на вступительных экзаменах в КФЭИ (Казань) в 1997 году - пример по т. Виета решался, но корней в некоторых примерах не было, соответственно сверочные решения завкафедрой были неверными.
Александр Останин
73 496
Александр Сергиенко
Спасибо, солидарен с вами) Мне тоже кажется что решать подобные уравнения гораздо проще через дискриминант или квадрат двучлена... но как говорится лучше вооружиться знанием данной теоремы нежели однажды столкнуться с ней и оказаться безоружным...)
Оксана Хорева
По-моему, это невозможно. Вы можете дать конкретный пример такого уравнения ?
Оксана Хорева
Поясню свою мысль. Если для уравнения x^2+bx+c=0 мы имеем два числа, которые удовлетворяют системе (x1+x2=-b и x1*x2=c), то мы можем записать уравнение
(x-x1)(x-x2)=0, для которого эти числа будут корнями. Если же раскрыть скобки, то получим
x^2-(x1+x2)x+x1*x2=0
Заменив (x1+x2) на -b, а x1*x2 - на с, получим исходное уравнение, для которого, очевидно, эти числа тоже будут корнями.
(x-x1)(x-x2)=0, для которого эти числа будут корнями. Если же раскрыть скобки, то получим
x^2-(x1+x2)x+x1*x2=0
Заменив (x1+x2) на -b, а x1*x2 - на с, получим исходное уравнение, для которого, очевидно, эти числа тоже будут корнями.
Перебором, но начинать нужно с произведения: оно даёт меньшее количество пар.
Конечно, хорошо работает только если заранее знаешь, что корни целые, с дробными и задолбаться недолго ;)
Конечно, хорошо работает только если заранее знаешь, что корни целые, с дробными и задолбаться недолго ;)
Александр Сергиенко
Спасибо за помощь)
А почему не хочешь использовать формулу решения приведенных квадратных уравнений,
если затрудняешься использовать т. Виета
Решается устно (надо только хорошо знать возведение в квадрат числа, оканчивающего на 5
и вынос из корня ..,25. А если перед х стоит четное число, то еще легче)
x=3,5±√(72,25) = 3,5±8,5
x=12
x=-5
если затрудняешься использовать т. Виета
Решается устно (надо только хорошо знать возведение в квадрат числа, оканчивающего на 5
и вынос из корня ..,25. А если перед х стоит четное число, то еще легче)
x=3,5±√(72,25) = 3,5±8,5
x=12
x=-5
Радик Жолмуханов
23 097
Михаил Киселев
Спасибо за совет) Но вопрос в первую очередь задавался не с целью облегчить решение (мне если честно через дискриминант проще всего решать) а дабы понять насколько эффективна может быть теорема Виета в практическом применении...))
A зачем?
Михаил Киселев
ну перспектива устно (а главное быстро) решать квадратные уравнения весьма прельщает возможностью существенно сократить время потраченное на ту или иную работу...)
хз
Евгения Боброва
196
Устно? Ты сума сошел?
Самая Самая
85
Похожие вопросы
- Почему люди ненавидят теорему Виета?
- учитель по математике поставил 3 за то, что я решил уравнение другим способом (через теорему Виета) имею ли я право подать
- Квадратные уравнения всегда решаются через дискриминант или по Виету?
- Возможно ли квадратные уравнения решить без формулы дискриминанта / Виеты а тупо на простом калькуляторе ?
- Теорема Фредгольма, совместность систем линейных уравнений.
- помогите понять теорему обратную теореме Виета спасибо на конкретных примерах
- При решении квадратного уравнения заметил одну закономерность...
- объясните теорему Виета не понимаю ее никак спасибо
- Можно ли так решать кубические уравнения ?
- можно ли квадратное уравнение решить без формул, а более простым арифметическим способом (пускай и дольше по времени) ?