Естественные науки

Теорема Фредгольма, совместность систем линейных уравнений.

Теорема Фредгольма, совместность систем линейных уравнений. Никак не могу понять.
" Для того чтобы система уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной однородной системы удовлетворяло уравнению: b(1)y(1)+...+b(m)y(m)=0, где b свободные члены уравнения" - Беклемишев, стр. 166
(В скобочках написаны индексы, где m - индекс столбца, n - индекс строки)
Дорогие математики, проходя мимо моего вопроса, пожалуйста постарайтесь ответить наиболее доступным языком, и применять в основном обозначения (a b c d e f x y z). Заранее спасибо!
Dabstep Dabstep
Dabstep Dabstep
196
Сопряженное - значит, нужно матрицу транспонировать (если с комплексными числами работаете, то еще комплексное сопряжение над каждым числом в матрице взять).
Однородное - значит, приравнять нулю правую часть.

В остальном... там написано ровно то, что написано.
Замечать всякие ядра и скалярные произведения в формулировках тоже полезно. Но это для себя и на будущее, чтобы лучше запомнилось и осозналось.
АТ
Аман Тураров
25 105
Лучший ответ
Берем сопряженный оператор. Справа от "необходимо и достаточно" написано: ядро сопряженного оператора лежит в ортогональном дополнении к b.

EDIT
Пример.
Берем квадратную единичную матрицу, в левый верхний угол впердоливаем ноль вместо единички. Она симметричная и совпадает со своей сопряженной. Путь b1 = 0.
Решение исходной системы: x1 любое, x2... xn совпадают c b2....bn, поэтому система совместна.
Решение сопряженной однородной системы: x2 = ...= xn = 0, x1 - любое.
Ну и что, разве любое решение сопряженной однородной системы перепендикулярно b? Да, ведь b1 = 0. Ура.
Sergas Europe
Sergas Europe
23 024
Приравниваем нулю все свободные члены b исходной системы. Получаем сопряженное однородное. Решаем его. Каждое из решений (их, вообще говоря, бесконечно много) - это набор чисел: y1, y2, y3, и т. д. Если в любом из таких наборов каждый из игреков умножить на соответствующее b (которые мы раньше выкинули) и сложить и в результате обязательно получается нуль, то исходная система совместна.
Наверное, так.
АФ
Андрей Федулов
8 148
Dabstep Dabstep Тоесть мы находим общее однородное решение системы, затем найденные переменные из однородного решения домножаем на соответствующие свободные члены и у нас должен получиться 0?

Похожие вопросы