В каком случае система линейных уравнений не имеет решений?

Общий ответ: Если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы
коэффициентов левой части (теорема Кронекера-Капелли) , то система
решений не имеет. Это - необходимое и достаточное условие.

В процессе решения системы методом Гаусса тогда получится хотя бы
одно уравнение, где перед всеми иксами будут нули, а справа число
не равное 0. Например,

0*х1+0*х2+...+0*х5=1

В правильном по существу объяснении Джастина Миллера отсутствует
важная деталь: исходная система может не иметь в двух уравнениях
уже готовых пропорциональных коэффициентов в левой части уравнений.
Такая пропорциональность - или, что равносильно, все нули перед иксами
хотя бы в одном уравнении - может ПОЛУЧИТЬСЯ (или не получиться) при приведении матрицы левых частей к треугольному виду.

В случае, если соответствующие коэффициенты при х и у пропорциональны или равны друг другу, а свободные члены - нет.
Например
2х + 3у = 4
4х + 6у = 0
Потому что 4/2 равно 6/3, но не равно 0/4.
Графики этих уравнений - параллельные прямые. Они не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Поэтому система не имеет решений.
В более сложных случаях, когда переменных много, хотя бы два уравнения системы должны обладать свойством, что все коэффициенты при соответствующих переменных пропорциональны (равны) друг другу и не пропорциональны свободным членам.
Т. е. в общем виде, хотя бы два уравнения системы должны иметь вид
x1 + x2 + x3 + .+xn = a
kx1 + kx2 + kx3 + .+kxn = la,
где k не равно l.
Или же, если хотя бы одно уравнение системы не имеет решений ни при каких значениях переменных (это достигается тогда и только тогда, когда все значения коэффициентов при переменных равны нулю, а свободный член не равен нулю)