можно ли квадратное уравнение решить без формул, а более простым арифметическим способом (пускай и дольше по времени) ?

Можно. Это называется выделение полного квадрата. Но, собственно, формула и выведена методом выделения полного квадрата... Зачем же повторять ОДНО и ТО ЖЕ каждый раз?
a*x^2+b*x+c=0
x^2+b/a*x+c/a=0
x^2+2*b/(2*a)*x+b^2/(4*a^2)-b^2/(4*a^2)+c/a=0
(x+b/(2*a))^2=(b^2-4*a*c)/(2*a)^2
x+b/(2*a)=+/-sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a)
x=(-b+/-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)
Вот тебе и формула "через дискриминант". Можешь ее выводить каждый раз... С численными значениями вместо а, b и с...

У квадратного уравнения по определению не больше двух корней. Допустим вы угадаете один, а как подбирать второй? Второй угадывать труднее. Можно его определить по теореме Виета. А как быть с уравнением кубическим? Это уравнение на так очевидно, поэтому вместо угадывания лучше пользоваться формулами.

вот, попытка решить квадратное уравнение иным способом и привело к появлению парадокса Ахилл и черепаха ...

Можно: вот Ньютон и придумал свой способ, а Виетт уже потом доработал. Так что по методу Ньютона — прекрасно работает. Нужно 5...10 итераций в зависимости от точности — но не километровая же нужна ? :)

Там не нужно ничего запоминать даже

ax² + bx + c = 0 // для удобства всё разделим на a
x² + (b/a)*x + (c/a) = 0 // теперь выполним замену b/a = 2*(b/2a) нам это нужно для удобства
x² + 2*(b/2a)*x + (c/a) = 0 // заменим c/a = (b/2a)² - (b/2a)² + c. это нам тоже для удобства надо
x² + 2*(b/2a)*x + (b/2a)² - (b/2a)² + (c/a) = 0
(x² + 2*(b/2a)*x + (b/2a)²) + (c/a) - (b/2a)² = 0

тут невозможно не заметить формулу квадрата: m² + 2mn + n² которую можно записать как (m + n)²
(x + (b/2a))² + (c/a) - (b/2a)² = 0
(x + (b/2a))² = (b/2a)² - (c/a)
x + (b/2a) = ±√((b/2a)² - (c/a))
x = -(b/2a) ± √((b/2a)² - (c/a))

выделим общий знаменатель 2a и получим (в выражении под корнем всё умножится на 4a²):
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a

все формулы выведены простыми арифметическими преобразованиями. Для интереса можешь открыть учебник и посмотретЬ, как они были выведены.