Существуют ли в математике формулы для деконструкции среднего арифметического?

Я вам предложу комбинаторный подход. Просто пошлю куда-нибудь в поисковик, но путешествие может оказаться интересным.

Умножим средний балл на количество судей - будем работать с суммой баллов, а не со средним арифметическим.
Мы будем сумму баллов S разбивать на заданное количество (обозначим его k) натуральных слагаемых (т. е. оценок от судей), причем, порядок слагаемых важен (какой судья что выставил).

В комбинаторике такое "разбиение" называется композицией числа S длины k.
О б этом можно чуть почитать вот здесь:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Композиция_числа
Т. е. мы от "деконструкции среднего арифиметического" перешли к декомпозиции суммы.

У нас еще есть и ограничения на сами слагаемые (оценки) - они должны быть не больше 10. Между максимальным слагаемым (оценкой от судьи) и количеством слагаемых (оценок) в комбинаторике есть некая двойственность, описываемая наглядно некоторой простой фигней. Эту фигню можешь найти сам - гугли "диаграммы Юнга", "таблицы Юнга".
Их чаще рисуют для разбиений числа, в которых порядок слагаемых не важен. Но для композиций, вроде бы, эти таблицы Юнга тоже можно допилить.

При желании можно алгоритм перебора всех композиций числа S длины k с максимальным слагаемым не более 10 загуглить или написать самому. Е

Если у меня не склероз, у Арнольда в сборнике задач для детей от 5 до 15 была похожая задачка для, возможно, подсчета числа разбиений, а не композиций.

Нет, конечно. Надо знать среднее арифметическое и оценки всех членов жюри, кроме одного. Вот тогда оценку этого одного можно узнать.

Фарш невозможно провернуть назад. Т. е. по одному-единственному числу невозможно сказать, каким именно образом оно образовано из многих чисел.
Для некоторых условий/значений кое-что вычислить можно. Например, если можно выставлять только целые оценки, а судей двое, и средний балл 9.5, значит, один поставил 10, другой - 9. Но который сколько - сказать уже невозможно.

Так это бесконечное множество вариантов.

Формул нет. Зато есть видеонаблюдение и/или логирование.

Вариантов достаточно много, но в принципе можно разложить.
Например, максимальное число членов жюри, давших определённые баллы таковы:
0 баллов - 3 чел
1 балл - 3 чел
2 балла - 4 чел
3 балла - 5 чел
4 балла - 5 чел
....
9 баллов - 7 чел
10 баллов - 6 чел.

Если известно число оценок, их сумма и сумма квадратов, третьих и четвертых степеней, то можно вычислить моменты более высоких порядков - дисперсию, асимметрию и эксцесс. Среднее арифметическое - момент (распределения) первого порядка, дисперсия - второго и т. д.

разобрать среднее арифметическое на его составляющие со всеми возможными вариантами этих составляющих?
В математике нет, в программировании осуществимо

Да, есть. Общее решение такое:

Возможный набор оценок = (произвольный подходящий набор оценок) + Ker(f),

где f - линейный функционал, подсчитывающий среднее арифметическое но набору действительнозначных оценок.

Результат можно пересечь со множествов наборов оценок, допустимых правилами. Например, оставить только наборы с неотрицательными целочиленными оценками от 1 до 10.