а сколько существует действий в математике?

По сути арифметическое действие вообще одно единственное: сложение.

Дальше это работает так:
вычитание (a-b) - это сложение с таким числом, которое в сумме с b даёт 0
умножение (a*b) - это сокращённое сложение a+a+a+...+a и так b раз
деление (a/b) - это умножение на такое число, которое при умножении на b даёт 1
возведение в степень (a^b) - это сокращённое умножение a*a*a*...*a и так b раз
взятие корня (a^(1/b)) - даже из записи понятно, что это возведение в такую степень, при умножении которой на b получим 1.

То есть, если мы возьмём бесконечное множество любых объектов, таких, что бы у каждого из них был обратный объект относительно операции сложения и обратный объект относительно операции умножения (при чём принципы "обратности" мы придумываем сами), тогда мы сможем с ними работать как с обычными числами складывая, отнимая, умножая и т. д. Только для этого ещё нужно будет предварительно найти объект, при умножении которого самого на себя, мы получим этот же объект. Это будет единицей, и единица должна входить во множество доступных нам объектов

По сути мы создадим новое поле :) И по сути мы его создали просто определив его через единицу, операцию сложения, и операции производные от сложения. Так что для того, что бы заниматься математикой достаточно знать только как складываются числа :)

Например. там есть еще существование интеграла и дифференциала. Тоже в некотором роде математические действия.

сколько придумашь - столько и есть.

на каждом шагу математики вводят какие-то свои операции.

кстати, стандартные функции - то же по сути введенные действия.

Ну, если брать перечисленные в вопросе, то это гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка. Есть и более высокого порядка - тетрация, пентация, гексация, но практически они почти не применяются.
А вообще математических операций можно придумать и использовать сколько угодно. В языке программирования C++ их, например, десятки.

Возведение в степень, извлечение корня и нахождение логарифма - это три взаимосвязанных действия: аⁿ = c; a = ⁿ√c; n = log(a)c иногда называют действиями алгебры.

6 (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня)