Сколькими способами можно переставить буквы слова: «алгебра», чтобы «р» шла непосредственно после «а»;

бургер бра

(7-1)!= 6!= 720.

разделим задачу на несколько более простых:
1. Сколькими способами можно расставить 2 буквы "а" в 7 ячейках
2. Сколькими способами можно расставить одну букву "р" в двух ячейках идущих после букв "а"
3. Сколькими способами можно расставить буквы "л", "г", "е" и "б" в оставшихся 4 ячейках.

1. C(2;7) = 7!/(2!*5!) = 6*7/2 = 21
2. C(1;2) = 2!/(1!*1!) = 2
3. 4!

Ну а теперь всё это перемножим (для каждого случая из пункта 1 возможен каждый случай из пункта 2, а для них возможен каждый случай из пункта 3):
Res = 21 * 2 * 4! = 2 * 2 * 3 * 4 * 21 = 1008

Ну это если я нигде не ошибся, но перепроверил, вроде ошибок не вижу :)

P.S. Нет, всё-таки нашёл ошибку :(
Первый пункт нужно поправить, ведь в первом пункте буквы "а" могут стоять рядом, и тогда букву "р" можно поставить не в двух местах, а только в одном.... и один вариант вообще нужно отбросить, когда обе буквы "а" стоят в самом конце (тогда ни после одной из них невозможно поставить "р").

Тогда нам нужно это учесть и первый пункт разделится на 3 случая:

1.1 Букву "р" невозможно поставить нигде
1.2 Букву "р" можно поставить в одном месте
1.3 Букву "р" можно поставить в двух местах

1.1 1 вариант (когда буквы "а" стоят в конце)
1.2 5 вариантов (когда буквы "а" стоят рядом, но не в конце)
1.3 C(2;7) - 5 - 1 = 7!/(2!*5!) - 5 - 1 = 15

тогда
Res = (15 * 2 + 5 * 1) * 4! = 35 * 4! = 840

...вай, вай, вай, на единый процесс не уповай... скоро...